Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Модули над алгебрами
239
5. Показать, что свободная, строго коммутативная градуированная алгебра с некоторым конечным градуированным множеством образующих может быть построена как тензорное произведение полиномиальной и внешней алгебр.
6. Показать, что если Р = К [х] н Q = Р 1у], то Q как (неградуирован-ная) К-алгебра изоморфна алгебре К [х, у]. Распространить этот результат на градуированный случай с большим числом неизвестных.
§ 5. Модули над алгебрами
Пусть А — градуированная К-алгебра. Градуированный К-модуль А называется левым A-модулем, если задан такой гомоморфизм лА: А ® А -+-А градуированных К-модулей степени нуль, что коммутативны диаграммы
Яд®1
А® А ® Л---->А®Л К ® Л ----------А
\ l®rtA пА IA® 1 '
t --- Ч • \
А ® Л-Л , А ® Л ------ I
Другими словами: левый А-модуль — это градуированная абелева группа Л вместе с функцией, которая сопоставляет каждому X € А и каждому а € Л элемент Аа 6 Л, причем deg (Ха) = deg А +
+ deg а и для любых элементов Аь А2 и аь а2, таких, что deg Ai =
= deg Я2, deg а( = deg а2), имеют место равенства
(Aj А2) а = А?а -(- Aga, А (а? -)- а2)= Aaj -1- Аа2, (5*2)
(Ац)а = А([ха), 1 Аа = а. (5.3)
Действительно, если выполнены эти условия, то по определению ka = (k\а) а, А превращается в градуированный К-модуль. Ввиду (5.3), (kX) а — k (Ха) = X (ka). Вместе с (5.2) это равенство
показывает, что функция Ха К-билинейна, и поэтому определен
гомоморфизм лА: пА(Х ® а) = Аа. Наконец, (5.3) есть перефразировка коммутативности диаграмм (5.1).
Если С и Л — левые A-модули, то А-модульным гомоморфизмом f.C-^A степени d называется такой гомоморфизм градуированных К-модулей степени d, для которого
/яс = лА(1 ® /) :А ® С-» Л; (5.4)
Другими словами, это такой гомоморфизм, для которого
f(Xc) = (-\fegmeg^X(fc) (5.4')
Для всех А ? А и с 6 С; обычный знак появляется в силу определения (2.2) отображения 1 ® /. Множество всех таких гомомор-
240
Гл. VI. Типы алгебр
физмов / степени d является К-модулем, который мы обозначим как Hcm-d (С, А).
Класс всех левых Л-модулеи образует категорию с морфизмами homA (С, А) = Ногпл (С, А) степени нуль. В категории мМ определены прямые суммы, подмодули и фактормодули, ядра, образы, кообразы и коядра с обычными свойствами. Для каждого п Нот" (С, А) — аддитивный бифунктор из категории Ааtl в категорию К-модулей. контравариантный по аргументу С и ковариантный по А. Семейство Ношл (С, А) = {Нотл (С, Л), п = 0, ± 1, ±2, . . .} является аналогичным бифунктором из ла? в категорию Z-градуированных К-модулей. Согласно определению (5.4) А-модульного гомоморфизма, мы можем также описать Нотл (С, А) как Z-градуированный К-модуль, который является ядром естественного гомоморфизма
¦ф: Нот (С, А) —> Нот (А ® С, А), Нот==Нотк (5.5) Z-градуированных К-модулей, определенного равенством 1|>/ = Яа( 1 f) — frtc ’¦ А <8> С—>А.
Предложение 5.1. Функтор Нотл точен слева, т. е. если D -*-В -*~С 0 — короткая точная справа последователь-
ность из &еМ, то индуцированная последовательность
0 —> Нотл (С, А) —> Нотл (В, А) —> Нотл (D, А) (5.6)
точна; соответствующий результат верен в том случае, когда А заменяется короткой точной слева последовательностью.
Доказательство. Построим следующую коммутативную диаграмму:
0 —> НотЛ (С, А)-> Нотл (В, А)-----> Нотл (D, А)
111
0 —> Нот (С, А)---^ Нот (В, А)-----> Нот (D, А)
1* I* j'f
0 —> Нот (Л <8> С, А) —> Нот (Л <g> В, А) —> Нот (Л <g> D, А).
Ввиду точности справа тензорного произведения (теорема V.5.1) последовательность A®D-»-A®B->A®C-»-0 точна справа. Ввиду точности слева функтора Нотк последние две строки точны слева; по определению (5.5) все три столбца точны слева (если их написать, начиная с 0 -> • • •). Лемма о девяти гомоморфизмах (в сильной форме упражнения 11.5.4) показывает теперь, что первая строка точна слева, что и требовалось доказать.
Правые A-модули G вводятся аналогично. Гомоморфизм у: G -> -*-G' правых A-модулей должен удовлетворять соотношению
§ 5. Модули над алгебрами
241
Y (§Я) = (yg) Я; здесь не требуется никакого знака [в противоположность (5.4')], потому что гомоморфизм и модульные операции действуют на элементу 6 G с разных сторон. Правый Л-модуль G можно также описать как левый Аор-модуль с «обращенными» операторами: Я°рg — (— l)<dee M(degs) g^- эт0 определение гаран-тирует, что Я°р (|х°р^г) = (Я°Р|х°Р) g.
Для данных модулей Ga и аА их тензорное произведение над Л является градуированным К-модулем. Он определяется как коядро отображения <р градуированных К-модулей
G <8> Л <g> А -Д» G <S> А —> G <8>л Л —> 0, (5.7)
определенного формулой <p(g0X0a) = gA0a — g ® Ха. Это равносильно утверждению, что каждый модуль (G 0 л А)п является К-фактормодулем К-модуля (G 0 А)„ по подмодулю, порожденному всеми разностями gX 0 а — g ® Ха в (G 0 А)п. Это тензорное произведение характеризуется с помощью внутренне линейных функций в градуированные К-модули М точно так же, как и в теореме V-1.1.
