Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Когомология свободных абелевых групп
В качестве приложения тензорных произведений алгебр мы вычислим группы когомологий свободных абелевых групп.
Для группового кольца Z (П* х П2) прямого произведения двух мультипликативных групп П1 и П2 существует естественный изоморфизм
^(ЩхП^а^ПОвгЩа). (6.1)
Действительно, кольцо Z (Пг) характеризуется (предложение IV. 1.1) тем, что любое мультипликативное отображение (хг группы Пг в кольцо 5, при котором Ц; (1) = ls, продолжается до кольцевого гомоморфизма Z (П;) —>- 5. По предложению 4.1 мультипликативное отображение (г: П1 хП2->5, при котором (г (1) = = 1, продолжается тогда до единственного кольцевого гомоморфизма Z (П1) <8) Z (П2) -»-S, так что кольцо Z (ПО ® Z (П2) удовлетворяет характеристике группового кольца Z (Hi х П?).
Пусть Cod — бесконечная (мультипликативная) циклическая группа с образующим t, а R = Z (Сто) — ее групповое кольцо. Любой элемент из R является многочленом от положительных,
16*
244
Гл. VI. Типы алгебр
отрицательных и нулевой степеней t и, значит, может быть записан как tmp (t), где р — (обычный) многочлен с положительными степенями t и целыми коэффициентами. Ядро пополнения е: R—+Z — это множество всех кратных элемента t — 1; следовательно, имеет место точная последовательность
О <—Z Z- R -Д- Ru <— О, (6.2)
в которой Ru — свободный R-модуль с одним образующим и и ди = t — 1. Значит, д : R<~ Ru — свободная R-модульная резольвента для eZ; она является частным случаем резольвенты, найденной в (IV.7.3) для произвольной свободной группы, и аналогом резольвенты (1.3) для кольца многочленов. Для любого R-модуля А можно найти с помощью этой резольвенты группу Н1 (С», Л); она совпадает с факторгруппой А /На — а | а ? Л ], в то время как Нп (Сю, А) = 0 при п > 1.
Свободная абелева группа Псп образующими tu . . , tn является прямой суммой п бесконечных циклических групп. По
(6.1) групповое кольцо Z (П) равно R1 ® . . . ® R71, где каждое /?* есть групповое кольцо Z (Сх (tt)), а пополнение е : Z (П) -*¦ Z
равно тензорному произведению е1 ® . . . ® е" пополнений
е* : R1 -> Z. Для каждого индекса i построим /^-проективную резольвенту Xi:Ri->-RiUi типа (6.2). Построим комплекс тензорного произведения
X = X'®ZX*®Z ... ®zXn;
он является цепным комплексом свободных R1 0 ... 0 Rn = = Z (П)-модулей.
С одной стороны, каждая резольвента Хг — это комплекс свободных абелевых групп. Итерированная тензорная формула Кюн-нета (теорема V.10.1) показывает, что гомологическое умножение
S#mi (X1) ®...®Нтп (Хп)->Нт (X1 ® ... ® Хп)
является изоморфизмом в размерности tn — т, + тп.
Однако Hmi (X*) = 0, если т1ф 0, а ег: Н0 (X1) ^ Z,
так что Нт (X) = 0 при положительных т, а при т = О е0: Но (X) es Z. Этим доказано, что комплекс X является свободной резольвентой Z как П-модуля.
С другой стороны, каждая резольвента X4 является, внешней алгеброй ERi -[и1]; ввиду (4.6) комплекс X — это внешняя алгебра fz<n> [ui, . . Ып1 и поэтому имеет вид точной последовательности
0«-^Z<—Х0<—Xj«~... «-Х„<е-0
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры
245
П-модулей, в которой каждый модуль Хр свободно порождается элементами щ ® • • • ® «гр, 1 < й < • * • < ip<n. Поскольку диг — U — 1, граничная формула (V.9.2) для тензорного произведения дает
р ' д(и® ... ® «ip)= S (—I)*"1 l)«i, ® • • •
(6.3)
крышка означает пропуск. Группы когомологий группы П можно вычислить с помощью этой резольвенты. Для любого П-модуля А
Extn (Z, А) а* Нр (П, А) = 0, р>п. (6.4)
Если р<п, то р-мерная коцепь /: Хр ->¦ Л как модульный гомоморфизм определяется (р, л — р) произвольными элементами / («;1 ® . . . ® «ip) € Л и
5/(«ij ® .. • ® «гр+1) =
р+1 ¦ '
= J] (-1)*-1(Ч_ и/И® ... ... ®Kip+i).
В частности, если Л — абелева группа, рассматриваемая как тривиальный П-модуль (^а = а для всех i), то 6/ всегда есть нуль, так что ЯР(П,Л) является просто прямой суммой (р, п — р) копий группы Л.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что если П, как и выше,— свободная абелева группа, то' группа Н1 (П, А) изоморфна факторгруппе L/М, где L — подгруппа группы Аф . . . фА (п слагаемых), состоящая из всех элементов (а{, . . ., ад), для которых ttaj — tjat = aj — а* для всех i, /, a М — подгруппа всех элементов вида (/4о — а, . . ., tna — а) для а ? А. Интерпретировать этот результат в терминах классов скрещенных гомоморфизмов.
2. Получить аналогичную формулу для Н2 (П, Л) и сравнить ее с результатом, полученным для двух образующих в 1V.3.7.
3. Определить группу Нп (П, А) для свободной абелевой группы П с п образующими.
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры
Резольвента* X из предыдущего параграфа является одновременно комплексом и алгеброй, в которой граница произведения определяется формулой Лейбница (1.5). Такие алгебры мы называем DG-алгебрами. Другие примеры DG-алгебр появятся в еле-
