Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
РК [*!, . . ., Хп] — РК [Xj] 0 ... 0 Рк [хп\ (4.4)
называется градуированной полиномиальной алгеброй от неизвестных Xi. В каждой размерности т, Рк lxt, ¦ . хп] будет свободным К-модулем, свободными образующими которого будут все элементы вида
xfi 0 ... 0 х\f, причем etdt + ... + endn = т
§ 4. Тензорные произведения алгебр
237
(если et = 0, то обозначает 1к); при перемножении двух таких образующих складываются соответствующие показатели степени. Эта полиномиальная алгебра является свободной коммутативной алгеброй с образующими xt четной степени в смысле следующей характеристики.
Предложение 4.2. Если Л — коммутативная градуированная алгебра, то отображение множеств {xlt . . ., хп} —>
Л, для которого deg (?л:г) = deg xt для всех i, однозначно продолжается до гомоморфизма f : Рк [хи . . ., хп] Л градуированных алгебр.
Доказательство. Поскольку Рк 1*г 1 — свободная алгебра с образующим xit соответствие xt -v продолжается до гомоморфизма алгебр /*: Рк Ix, 1 -*• Л. Поскольку алгебра А комму-тативра, набор этих гомоморфизмов /г по предложению 4.1 однозначно определяет гомоморфизм /: Рк -*• Л.
Если все Xt имеют одну и ту же степень, то из этого свойства следует, что перестановка порядка неизвестных просто заменяет полиномиальную алгебру изоморфной ей алгеброй; значит, порядок неизвестных xi не существен. Если все хг имеют степень нуль, то алгебра Рк 1хи . » ., хп ] тривиально градуиробана. Мы можем рассматривать ее как неградуированную алгебру и обозначить через К [*1, . . ., хп]\ в этом случае она является обычной алгеброй многочленов от п неизвестных над кольцом К. Для заданных п констант ki 6 К по предложению 4.2 существует такой единственный гомоморфизм f: Рк ->К, что fxt = kit i = 1, . . ., п. Это гомоморфизм, получаемый известным процессом «подстановки kt вместо xt,
i — т.
Теперь мы построим аналогичную свободную строго коммутативную алгебру с образующими щ нечетной степени (степень I будет достаточна). Для «букв «ь . . ., ип, каждая из которых имеет степень 1, тензорное произведение (над К)
Ек [и±, . •., Un] ^ \_Uil ^ ^ Ек [Ип]
есть строго коммутативная алгебра, называемая внешней алгеброй над К с образующими ии ..., и„. Как и выше, имеет место
Предложение 4.3. Внешняя алгебра Е = ?к *0
в степени 1 является свободным К-модулем Et с образующими Иь . . ., Un. Если Л — любая строго коммутативная градуированная К-алгебра, то каждый модульный гомоморфизм Р: Е! ->- Л4 однозначно продолжается до гомоморфизма Л
градуированных алгебр.
Произведение двух элементов е и е' внешней алгебры часто записывается как е Д е'. Очевидно, что Е — свободный модуль,
238
Гл. VI. Типы алгебр
образующими которого служат все (упорядоченные) произведения образующих и;; произведения степени р > О — это произведения
WiiWi2 • • • Wip U-ii /\ Щ2 /\ . . . /\ Uipt
где 1<!1<!2<. . . < гр<л. Число таких произведений равно
(р, п — р), где
(р, q)=--(p + q)\/(p\q]) = + (4-5)
— наше обозначение для биномиальных коэффициентов. Любая перестановка о знаков 1, . . ., р может быть записана как произведение sgn а транспозиций смежных знаков, где sgn а= 1
или 0 (mod 2) в соответствии с четностью или нечетностью перестановки а, так что из правила коммутативности вытекает
равенство
Ui0lUiOi • • • Ui(Tp = ( 1) 8 Miiu»2 • • • Uiv
Тензорное произведение К ® z К' двух коммутативных колец есть коммутативное кольцо, а из определения Е следует, что
Ек [u] <8>z?k' [и'] = ?к®к' [и, и']. (4.6)
Имеются аналогичные изоморфизмы для большего числа букв и, большего числа множителей, а также при замене алгебры Е алгеброй Р. Многочлены от п коммутирующих неизвестных с коэффициентами из не обязательно коммутативной (неградуированной) К-алгебры Л можно определить так:
Ра [Хи ¦ ¦ ¦, хп] = Л Фк-Рк [хи • • ¦, хп]. (4.7)
УПРАЖНЕНИЯ
1. В произвольной градуированной алгебре Л обозначим через С =
— С (Л) идеал, порожденный (см. упражнение 3.3) всеми разностями Яц —
— (—1)тпц%, где т = deg к, п = deg (i. Показать, что алгебра Л/С коммутативна и что любой гомоморфизм алгебры Л в коммутативную алгебру можно однозначно провести через проекцию Л -*¦ А/С.
2. Симметричная алгебра S (Af) определяется как факторалгебра S (Af) = Т (М)/С (Т (М)) тензорной алгебры, где идеал С определен в упражнении 1. Показать, что предложение 3.1 остается в силе, если алгебра Л коммутативна, а алгебра Т (М) заменена алгеброй S (М), и что для свободного модуля М с конечным числом образующих четной степени алгебра S (М) является полиномиальной.
3. Проделать аналогичное построение внешней алгебры над любым градуированным К-модулем М, состоящим только из элементов степени 1.
4. При условиях упражнения 2 показать, что
S (М © N) s 5 (М) ® S (N).
