Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 104

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 227 >> Следующая

daf = dTf + (-l)n+4dz. (7.6)
Таким образом Нот^ с заглавной буквы «Н» отличается от hom^ с маленькой буквы «И»: а именно
Ноту (X, У) есть DGZ-модуль над К; элементы — все /: X —> У;
homy (X, Y) есть (неградуированный) К-модуль;
элементами его являются — все |: X—» У.
Более того, homy есть К-модуль циклов степени 0 в комплексе Ногпц.
Пусть X есть правый fZ-модуль, Y — левый {/-модуль. Рассматриваемые только как модули над градуированной алгеброй, они определяют градуированный К-модуль X У, который становится DG-модулем над К, если дифференциал определить формулой (7.1); тогда в силу этой формулы д (хи ® у) — д (х ® иу) (внутренняя {/-ассоциативность). Значит, элементы в Нот^ и определяются градуировкой и модульной структурой X и У; дифференциалы в Ноту и возникают из дифференциалов в X и У.
Для двух DG-алгебр U и U' их U-U'-бимодуль (X, д) имеет один дифференциал д, для которого выполнено соотношение (7.3) для д (их) и соответствующее правило для д (хи') — точно так же, как бимодуль имеет только одну К-модульную структуру, индуцированную или U, или U'.
Для дальнейшего необходим также пополненный случай. Дифференциальная градуированная пополненная алгебра U (коротко: DGA -алгебра)—это DG-алгебра вместе с пополняющим отображением е: U К, которое является гомоморфизмом DG-алгебр. Здесь основное кольцо К рассматривается как DG-алгебра с тривиальными градуировкой (К0 = К) и дифференциалом (3 = 0). Такое пополнение полностью определяется своей компонентой степени 0, которая является гомоморфизмом е0 : U0 ->К (не градуированных) К-модулей и
е01 = 1, е0 (и0и'о) = (е0и0) (&ои'0), е0д = 0: С/4 —> К.
Такая DG-алгебра U называется связной, если f/0 = К и 3 : t/t ->- Uо есть нуль; отсюда следует, что Н0 (U) К (этим объясняется
выбор термина «связная»: топологическое пространство X связно тогда и только тогда, когда #0 (X) з* Z). Связная DG-алгебра имеет каноническое пополнение е0 = 1: U0 ->К.
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры 249
Дадим теперь несколько примеров DG-алгебр. Возьмем поли* номиальную алгебру Рк [х] от неизвестного х степени 1, выберем некоторое k0 6 К и положим дх = k0; тогда дх2т = 0, дх2т+1 = = k0x2m, и Р превращается в DG-алгебру. Аналогично внешняя алгебра Ек[и] с образующими степени 1 имеет единственный дифференциал, для которого ди = k0, и является DG-алгеброй.
Если X есть DG-модуль над К, то тензорная алгебра Т (X) имеет единственную структуру DG-алгебры, при которой вложение X -> Т (X) является цепным преобразованием; требуемый дифференциал в Т (X) задается формулой
р
dfo ® ... ® хр) — ^2 (— I)4' xi ® ® dxi <g> ... ® хр,
где т), = deg xt + ••• . + degJCi-i в соответствии с соглашением о зНаке. Аналог предложения 3.1 верен для этой алгебры Т(Х).
Можно построить универсальные DG-алгебры с данными образующими. Так, если х имеет степень 2, а и — степень 1, то существует только одна структура DG-алгебры в алгебре V = Р [л:] ® ® Е [и], при которой дх = и, поскольку по правилу Лейбница (7.2) дифференциал на свободных К-модульных образующих алгебры V задается формулами
д(хт®1)=-тхт~1®и, д (хт ® и) = 0. (7.7>
Если «2 — отмеченный элемент степени 2 в некоторой строго коммутативной DG-алгебре U, то существует единственный гомоморфизм DG-алгебр /: V -+U со свойством fx — и2 (и, значит, fu = du^j.
Путем аналогичных рассмотрений определяются дифференциальные внутренне градуированные и дифференциальные Z-градуи-рованные алгебры.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать для DG-ыодулей над К, что точная гомологическая последовательность (теорема 11.4.1) для короткой точной последовательности Е: W » X -» Y DG-гомоморфизмов к и а принимает вид точного треугольника
H(W) —^ Н(Х)
Я (У)
(ядро=образу в каждой вершине), где х* и ст* — гомоморфизмы градуированных модулей степени О, а связывающий гомоморфизм, Ье имеет степень —1.
250
Гл. VI. Типы алгебр
{Обычная длинная точная последовательность закручивается вокруг этого треугольника, опускаясь с одного уровня на другой с помощью д&,)
2. Доказать, что Л 6’-алгебр a U — это DG-модуль над К, снабженный гомоморфизмами я: U (g> U ->- и и I: К —>¦ U для DG-модулей степени 0, удовлетворяющими условиям (3.1). Дать аналогичное описание JJ-модулей при помощи (5.1) и показать, что Ноту и (g)u можно получить из Нотк и ®к Для DG-модулей, используя аналоги для (5.5) и (5.7).
3. Для алгебры V, определенной в (7.7), определить градуированную алгебру гомологий Н (V), если К = Z или если К = Zp (поле вычетов по модулю р).
4. Построить универсальную строго коммутативную DG-алгебру с данным конечным числом образующих (четных и нечетных степеней).
5. Если deg Xj = 2, deg = 1, то любая градуированная алгебра
Р [х±, . . ., дгп] Е [ui, . . ., un], изоморфна тензорному произведению п алгебр Vi = Р fx*] ® Е [«*] аналогичных рассмотренным в тексте, и имеет единственный дифференциал, для которого дх^ = uit i = 1..........п.
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed