Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, К-алгебра А — это кольцо, которое является также К-модулем, причем выполняется' равенство
k (AjAj) — (kXi) Я2 = A-i (kX2)
для всех k 6 К и Яь Я2 € А. Если 1Л — единичный элемент алгеб ры А, то равенство I (k) = k\A определяет кольцевой гомоморфизм / : К Л. В действительности К-алгебру можно описать как кольцо Л вместе с таким кольцевым гомоморфизмом I : К -*¦ А, что для всех k и Я выполняется (Ik) Я = Я (Ik), т. е. /К лежит в центре кольца Л.
Умножение ЯДг удовлетворяет обоим законам дистрибутивности и, значит, является К-билинейной функцией. Следовательно, формула я (Ai ® Яг) = ЯДг определяет К-модульный гомоморфизм я : А ® А -> А. В этих терминах К-алгебру можно описать как К-модуль А с такими двумя гомоморфизмами К-модулей
л = ял:Л®А—>Л, / = /л:К—>Л, (1-1)
что диаграммы
A (g) Л ® Л зт'81> Л ® А | l®*i 1*
Л ® А —я—> А,
коммутативны. Действительно, первая диаграмма показывает, что умножение ассоциативно, а левая и правая половины второй диаграммы показывают, что I (1к)— правая и левая единицы относительно умножения в Л и что я (lk ® Я) = kX — я (Я ® Ik).
K®A^A^A(g)K
J,j®i || |i ®i (i.2)
я . я A ® A —> A <— A ® A
15-353
226
Гл. VI. Типы алгебр
Если К совпадает с кольцом Z целых чисел, то Z-алгебра — это просто кольцо, так что тем самым дано диаграммное определение кольца с помощью тензорных произведений абелевых групп. Двойственные диаграммы определяют «кокольцо» или «коалгебру». Алгебра может быть градуирована степенями таким образом, что deg (Я1Я2) = deg + deg Х2 или может иметь дифференциал д, для которого д (Я4 Я2) = (д Я2 + Xi (д Я2). В этой главе проводится единообразное исследование этих различных типов алгебр и модулей над ними. В качестве примера алгебр с дифференциалом рассмотрим сначала некоторые резольвенты над кольцом многочленов.
Пусть P = F [х]—обычное кольцо многочленов от неизвестного х с коэффициентами из поля F; на самом деле Р можно рассматривать как F-алгебру, но временно мы будем рассматривать Р только как коммутативное кольцо. Поскольку F = F [хМ(х) — факторкольцо Р по главному идеалу (х), состоящему из всех кратных неизвестного х, мы можем считать FP-модулем, так что формула е (х) = О определяет Р-модульный гомоморфизм е : Р —> F. Построим последовательность
0<-F 4- Р t- Ри<-0 (1.3)
P-модулей, где Ри — свободный P-модуль с одним образующим и, а д есть Р-модульный гомоморфизм, для которого ди = х. Эта последовательность точна и является свободной резольвентой модуля F. Для любого Р-модуля А группа Extjp (F, А) может быть вычислена при помощи этой резольвенты как первая группа когомологий комплекса
Homp (Р, А) —> Ногпр (Ри, А) —> 0.
Ввиду изоморфизма HomP (Р, А) ^ А это есть комплекс
б : А —» А с 6а = —ха, так что Extp (F, А)^А/(х) А. Взяв тензорное произведение резольвенты (1.3) с модулем В, мы определим Torf (F, В) как подмодуль модуля В, состоящий из всех таких элементов b 6 В, что xb = 0. Например, Ext}> (F, F)o* F и Torf (F,F) ^
p.
Аналогично, пусть Р = F [х, у] — кольцо многочленов от двух неизвестных х и у над полем F. Если (х, у) обозначает идеал, порожденный хну, то поле F = Р/(х, у) снова является P-модулем, а отображение е : Р -*-F является Р-модульным гомоморфизмом, для которого е (х) = 0 = е (у). Ядро гомоморфизма е можно записать как образ свободного P-модуля с двумя образующими и и v при модульном гомоморфизме д1 : Ри © Pv ->Р, dt« = х, = у. Ядро этого отображения д± состоит из всех выражений fu + gv, где f,g — такие многочлены из Р, что fx + gy = 0. В силу един-
§ 1. Задание алгебр диаграммами
227
ственности разложения многочленов на множители должны быть выполнены соотношения f — — hy, g = hx для некоторого многочлена h. Следовательно, это ядро является образом свободного модуля Р (uv) с одним образующим uv при гомоморфизме д2, для которого d2 (huv) — {hx) v — (hy) и = fu + gv. Поскольку в P нет делителей нуля, д2— мономорфизм. Таким образом, мы показали, что последовательность
0^-F Л Р Д Pu@Pv Д Р(и»)«-0 (1.4)
точна. С помощью этой резольвенты можно вычислить, что Extp (F, F) ^ F @ F Torf (F, F) и что Extp (F, F) ^ F э* <=* Torf (F, F).
В резольвенте (1.4) опустим F и запишем Е = Р 0 Ри 0 Pv 0 0 Р (uv). Теперь положим vu = —uv, и2 = 0, и2 = 0; тем самым превращаем Е в кольцо, в котором 1Р действует как единица, а произведения задаются, например, равенствами (fu) (gv) = (fg) (uv) =
; — (gv) (fu). Это кольцо называется «внешним» кольцом над Р с двумя образующими и и V. Его элементы можно «градуировать», снабдив их размерностями следующим образом: dim 1Р = 0,
dim и = 1 = dim v и dim (uv) = dim и + dim v = 2, в соответствии с их обычными размерностями в резольвенте (1.4). Тогда размерность произведения есть сумма размерностей сомножителей. Далее, граничный гомоморфизм резольвенты теперь становится модульным гомоморфизмом д: Е ~-*-Е степени —1, причем ди = х, dv = у и д (uv) = (ди) v — и (dv). Отсюда вытекает формула для дифференциала произведения двух элементов еи е2 кольца Е:
