Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 96

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 227 >> Следующая

(В 0 С)т П — 2 S ВР) Т 0 Cqt 8. (2.6)
p+q=m r+s=n
Говорят, что элемент из имеет полную степень p + q. Естественные изоморфизмы (2.3), (2.4) и (2.5) верны и для биградуированных
230
Гл. VI. Типы алгебр
модулей, если использовать полную степень в знаке при транспозиции т.
Аналогично определяются триградуированные, 2-биградуиро-ванные модули и т. п.
Внутренне градуированный К-модуль А — это К-модуль с заданным разложением в прямую сумму А = 2ЛП; другими словами, заданы модуль А и его подмодули Ап, п = 0, 1, . . причем каждый элемент а Ф 0 имеет единственное представление в виде конечной суммы ненулевых элементов из различных подмодулей Ап. Элементы из Ап называются однородными элементами модуля А степени п. Каждый внутренне градуированный модуль А определяет внешне градуированный модуль {Лп}. Обратно, каждый внешне градуированный модуль М — {Мп} определяет ассоциированный внутренне градуированный модуль М* = 2МП. Более того, (L ® М.)„ = L* <g) Л1#, однако Нот (L*, AQ больше, чем [Нот (L, М) ]*, так как К-модульный гомоморфизм f : L* может не быть суммой конечного числа однородных гомоморфизмов.
В большей части литературы «градуированный модуль» понимается как внутренне градуированный модуль. Следуя предложению Джона Мура, мы выбрали как рабочий аппарат внешнее градуирование. Этот выбор имеет то преимущество, что мы всегда оперируем только с однородными элементами, а ие с суммами то+ • • • + тп элементов различных степеней. Аналогично нам необходимы только однородные гомоморфизмы L ->¦ М, а не произвольные гомоморфизмы L* М%. Более того, наш выбор дает возможность не использовать бесконечные прямые суммы, так что мы можем определить градуированный объект М над любой категорией аМ как семейство {Мп} объектов из аМ с морфизмами различных степеней точно так же, как и для модулей. Например, градуированное множество S — это семейство множеств {Sn, n=0, 1, 2, . . .}.
§ 3. Градуированные алгебры
Градуированная Yi-алгебра А — это градуированный К-модуль, снабженный двумя К-модульными гомоморфизмами я = =itA: Л ® Л->-Ли/ = /л:К-»-Л, имеющими степень 0 и делающими коммутативными диаграммы
Л® Л® Л Л® Л К®Л = Л=Л®К
I1®1 [| |‘®г (3.1)
Л® Л—Л, А®Л-^-Л-Д-Л®Л.
В первой диаграмме утверждается, что «умножение» V = я {X ® ц.) ассоциативно, а во второй, что элемент /Л (1к) = 1л является двусторонней единицей для этого умножения. Гомоморфизмом /: Л -у -у Л' двух градуированных алгебр над одним и тем же кольцом К называется такой гомоморфизм степени 0 градуированных К-мо-
§ 3. Градуированные алгебры
231
дулей, что диаграммы
A® Л Л' ® А'
* Л
1'
Л'
(3.2)
коммутативны.
Эти определения можно сформулировать также в терминах элементов. Градуированная алгебра Л — это семейство К-модулей {Ап, п = 0, 1, . . .} вместе с выделенным элементом 1 (Е А0 и функцией, которая сопоставляет каждой паре элементов Я, ц произведение Хр, К-билинейное и удовлетворяющее соотношениям
Аналогично гомоморфизм /: А А' двух алгебр — это функция, переводящая элементы из А в элементы той же степени из А' и сохраняющая структуру алгебры:
/(Я + ц) = /Я + /ц, f(kX) = k(fX) (модульная структура),
/ (V) = (А) (А1), / (1л) = U- (произведение).
Мы подчеркиваем, что каждый гомоморфизм f переводит единицу в единицу. Для алгебр, как и для колец, предполагаем, что 1 Ф 0.
Градуированная подалгебра S cz А является таким градуированным подмодулем модуля А, что 1А € 2 и что аа' ? 2, если а, а' g 2. Значит, подмодуль 2 сам является градуированной алгеброй с той же единицей, что и в А, а вложение i: 2 ->¦ А является мономорфизмом градуированных К-алгебр. Если /: А А' есть гомоморфизм алгебр, то образ f (2) есть градуированная подалгебра алгебры А'.
Градуированный левый идеал L cz А — это такой градуированный подмодуль алгебры А, что AL cz L (т. е. для любых Я б А и I ?L,il ? L). Следовательно, левый идеал’/- замкнут относительно умножения, но может не быть подалгеброй, поскольку может не содержать единицы 1А. Если аи • • •, as —элементы алгебры А, то наименьший градуированный левый идеал, содержащий все элементы at, часто обозначается через А (аи . . ., as) или просто (аь • • ., а$), где А подразумевается. Подмодуль элементов п-й степени этого идеала состоит из всех сумм 2Ягаь где элементы Я; 6 А имеют степени гг — dega;. Градуированный правый идеал R а А аналогично определяется условием R A cz R.
deg (Яц) = deg Я + deg ц,
Я(цу) = (Яц)у, 1Я = Я = Я1.
deg <fX) = deg Я
(градуировка),
(3.3)
232
Гл. VI. Типы алгебр
Градуированный (двусторонний) идеал У алгебры Л — это градуированный подмодуль, который одновременно является левым и правым градуированным идеалом Л. Фактормодуль Л/У есть градуированная алгебра с произведением, определенным тем условием, что проекция r\: Л г-»- Л/У является гомоморфизмом градуированных алгебр. Эта факторалгебра вместе с отображением т) характеризуется с точностью до изоморфизма тем, что любой гомоморфизм / : А -> Л' градуированных алгебр, для которого f (У) = == 0, представим единственным образом в виде произведения f — gr\. где g — некоторый гомоморфизм алгебр g: Л/У Л'. Более того, ядро любого гомоморфизма f: Л ->• Л/ градуированных алгебр является идеалом в Л (замечание: в случае У = Л в «факторкольце» Л/У = 0 получаем 1 = 0 в противоречии с нашим соглашением
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed