Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Rx(nAt) = [l/(tf — п 4- 1)] XhXh+n
k=о
при л = 0, 1, 2......М и M«JV. (6.15)
Эта приближенная (оценочная) функция по всему ансамблю возможных выборок х0, хъ х2, ..., xN также является случайной и обозначается Rx (п А^). Так как значение N весьма велико (порядка нескольких тысяч), лучше всего операцию (6.15) производить с помощью цифровой ЭВМ.
^Чтобы оценить качество сделанного приближения, необходимо определить математическое ожидание и дисперсию функции Rх (п At), поскольку она является случайной, а ее точное значение зависит от конкретной рассматриваемой реализации и соответствующего ей набора выборок. Математическое ожидание получить довольно легко, так как
N—п
Е [Rx{nAt)} == Е
1/(ЛГ — n+1) %XkXk+n k=0
= [l/(N-n+l))Nj:E[XhXh+n] =
*=о
= [l/(N- n+1)] t Rx(nAt)^ Rx(nAt).
ksssQ
Таким образом, математическое ожидание этого приближения совпадает с точными значениями автокорреляционной функции и является ее несмещенной оценкой.
Хотя приближенная функция, описываемая выражением (6.15), является несмещенной, она не будет непременно наилучшей (эффективной) оценкой по критерию минимума среднего квадрата ошибки и к тому же представлена она в форме, непригодной для
практического применения. Вместо нее обычно используется следующее выражение:
?х(лдо = да+ 1)] Евдц.., ? = о,1,2..............м, (6.16)
?=О
представляющее собой смещенную оценку автокорреляционной функции, которая в явном виде присутствует в выражении (6.15), для^? (п At) ], полученном выше. Поскольку в обоих случаях формулы отличаются друг от друга только коэффициентом, математическим ожиданием этого нового приближения следует просто считать величину
E[Rx(nAt)} = [I - n/(N + I)] Rx(nAt),
где nRx (п At)/(N -j- 1) — смещение. При W > п это смещение невелико. Хотя такое приближение является смещенной оценкой автокорреляционной функции, в большинстве случаев его средний квадрат ошибки оказывается несколько меньше, чем в случае, описанном выражением (6.15). Кроме того, уравнение (6.16) более доступно для вычислений. Программа для расчета на ЭВМ дана в приложении Ж.
Труднее определить дисперсию данного приближения, детали таких вычислений выходят за рамки нашего рассмотрения. Тем не менее можно показать, что эта дисперсия должна удовлетворять условию
м
D[Rx(nAt)]^(2/N) 2 Rx(kAt). (6.17)
k=—M
В этом выражении подразумевается, что 2М + 1 приблизительных (оценочных) значений автокорреляционной функции перекрывают область, в которой эта функция имеет достаточно большую амплитуду. Если произведение (2М + 1) At мало, то дисперсия, определяемая выражением (6.17), может также быть незначительной. При известном или полученном в результате измерений математическом описании автокорреляционной функции более точная дисперсия приближенного значения имеет вид
СО
D[Rx(«A0]<(2/T) J Rh^dx, (6.18)
— СО
где Т = N At — длительность наблюдаемой реализации (выборки).
Чтобы убедиться в значении этого результата для определения количества реализаций (объема выборок), необходимых для получения заданной точности, рассмотрим следующий пример. Предположим, что необходимо дать оценку корреляционной функции,
имеющей форму, показанную на рис. 6.2, при наличии четырех точек по обе стороны от центра (М = 4). Если допустимая средняя квадратическая ошибка составляет не более 5 % 3), из уравнения (6.17) следует, что (поскольку ta = 4 At)
4
(0,05Л2)2>(2/ЛО Е А*[1 — \k \ At/(4At)f.
k=—4
Решение этого уравнения относительно N дает N 2200. Ясно, что для получения достаточно точных оценок автокорреляционных функций необходимо проводить множество расчетов, используя выборки большого объема.
Упражнение 6.4.1. Автокорреляционная функция эргодического процесса X (t) имеет вид
Rx (т) = 10 (sin ят/(ят))2.
а) В каком диапазоне значений т должно существовать приближенное значение автокорреляционной функции, чтобы охватить два первых нуля самой функции?
б) Какой должна быть длительность исследуемой реализации х (t), если необходимо получить приближенное значение автокорреляционной функции на интервале, указанном в п. а.?
в) Какой должен быть объем выборки случайного процесса, чтобы средний квадрат ошибки приближенного значения не превысил 5 % истинного максимума автокорреляционной функции?
Ответы: 0,1, 2, 5331.
Упражнение 6.4.2. С учетом ограничений, накладываемых на значение дисперсии интегралом в выражении (6.18), найдите объем выборки, необходимый для приближенной оценки автокорреляционной функции из упражнения 6.4.1.
