Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
х(У X(t1+r) = X2
А
tl+т ,
to to : *o+t. t0+2ta »o+ 31, f0+4ta
А
i * 7
Рис. 6.1. Реализация дискретного стационарного случайного процесса.
принимает вид, показанный на рис. 6.1. Такая форма сигнала является типичной для напряжений, действующих в цепях цифровых ЭВМ и каналах связи между компьютерами. Следовательно, рассматриваемый случайный процесс является не только одним из самых простых с точки зрения возможности его анализа, но и одним из самых распространенных в окружающем нас мире.
Автокорреляционную функцию этого процесса определим исходя из эвристических рассуждений, а не путем строгих вычислений. Прежде всего можно отметить, что при |т| > ta моменты времени tr и tx г = t2 не могут находиться на одном и том же интервале, вследствие чего соответствующие этим моментам случайные величины Хг = X (^) и Х2 = X (t2) оказываются статистически независимыми. Поскольку Хх и Х2 в данном случае являются центрированными величинами, можно ожидать, что их произведение будет равно нулю (см. выражение (3.22), а именно:
Rx (т) = Е [ХгХ2] = ХгХ2 = О при | т | > ta,
так как Хг = Х2 = 0. Когда |т| < ta, tx и tx -f- г могут находиться или не находиться на одном и том же интервале в зависимости от t0. Поскольку нахождение момента t0 в любой точке на временной оси равновозможно, вероятность того, что tx и ^ + т действительно лежат на одном и том же интервале, пропорциональна разности между ta и т. В частности, при г ^ 0 очевидно, что *0 < к < (к + г) < к +4, откуда следует tx + г — ta <
t0 ty. Следовательно, вероятность того, что ty и ty т находятся на одном интервале, равна
Р [(*1 + т - ta < к < ty)) = [^i —(/i + г — *„)]/*„ = (ta — x)/ta,
так как плотность вероятностей при t0 как раз равна 1 Ца. Когда <г < 0, очевидно, что t0 < ty + г < ty < t0 + ta, откуда следует,
что ty — ta < t0 ^ ty + Таким образом, вероятность того, что ty и ty + т находятся на одном интервале, равна
Р [(tfi — ta)<i t0 (^i + t)] — [ty -j- т — (^i — ta)\/ta = (ta -f- t)/ta‘
Обобщая полученные выражения, запишем
Р (^i и ty -(- т находятся на
одном и том же интервале) =
= (*« — | г !)/*«•
Если они располагаются на одном интервале, то произведение Ху и Х2 равно всегда А2, в противном случае можно ожидать, что их произведение равно нулю. В результате имеем
Рис. 6.2. Автокорреляционная функция случайного процесса, показанного на рис. 6.1.
Я* 00
A2[(ta — М)/*а] = ^2[1 — М^а] При 0<Т<^а, О при |т|>/а.
(6.6)
Вид этой функции показан на рис. 6.2.
Представляет интерес физическая интерпретация полученной автокорреляционной функции в свете вышеприведенных рас-суждений. Можно отметить, что если |т| достаточно мало (меньше ta), вероятность того, что значения X (ty) и X (ty + г) равны и автокорреляционная функция положительна, достаточно велика. Если | т| >4. то ситуации, когда X (ty) и X (ty + т) будут одинаковы, но противоположны по знаку, равновозможны. При этом автокорреляционная функция примет нулевое значение. В случае когда г =^0, автокорреляционная функция становится равной среднему квадрату случайного процесса, т. е. Rx (0) = А2.
Упражнение 6.2.1. Речевой сигнал дискретизируется 8000 раз в секунду, и каждая выборка квантуется на 128 уровней. Полученные уровни подвергаются двоичному кодированию напряжением величиной ±2. Полагая, что двоичные импульсы в последовательности статистически независимы, иапишите автокорреляционную функцию бинарного процесса.
Ответ:
RxW
4 (1 — 56 000 | г |) при 0 |т | •< 1/56000, 0 для других | т |.
Упражнение 6.2.2. На рисунке показана реализация х (() стационарного случайною процесса X {I). Случайный параметр характеризуется равномерным распределением между значениями 0 и ta, причем амплитуда импульсов может
x(t)
А 0 tb„ 2 ta+ 0
ta+to
to to 3 te+ t0
-A
с равной вероятностью и независимо от номера импульса принимать значения ±Л. Найдите автокорреляционную функцию этого процесса.
Ответ
{А2{ЬЦа)[\ - |т/61] при |т|<6,
RxW=|o при |т|>4
6.3. Свойства автокорреляционных функций
Поскольку автокорреляционные функции играют весьма полезную роль в представлении случайных процессов и при анализе систем, оперирующих со случайными входными сигналами, необходимо иметь возможность сопоставить свойства автокорреляционной функции со свойствами представляемого ею случайного процесса. В этом разделе обобщаются некоторые свойства всех автокорреляционных функций стационарных и эргодических случайных процессов. Читателю следует обратить особое внимание на эти свойства, так как в дальнейшем они будут многократно использоваться.
