Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
е) Случайный процесс вида
где А — постоянная, В — случайная величина, экспоненциально распределенная в интервале [0, оо]; 0 — случайная величина, равномерно распределенная
5.2.2. Гауссовский случайный процесс, имеющий математическое ожидание, равное 2, и дисперсию, равную 4, проходит через идеальный однополупериодный выпрямитель.
а) Пусть Хр (t) — случайный процесс на выходе однополупериодного выпрямителя, если на его выход проходят положительные значения входного процесса. Определить плотность вероятностей процесса Хр (t).
б) Пусть Хп (/) — случайный процесс на выходе однополупериодного выпрямителя, если на его выход проходят отрицательные значения входного процесса. Определить плотность вероятностей процесса Хп (t).
в) Определить плотность вероятностей процесса Хр (t) Хп (t).
5.3.1. Детерминированным или недетерминированным является каждый из случайных процессов, определенных в задаче 5.2.1?
5.3.2. Детерминированный случайный процесс описывается выражением
где А — гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 9; В — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 6]. Величины Л и В статистически независимы.
а) Определить математическое ожидание этого процесса.
б) Определить дисперсию этого процесса.
в) При условии, что реализация случайного процесса X (t) принимает значение, равное 10, при t = 2 и значение, равное 20, при t = 4, определить значение реализации при t = 8.
5.4.1. Можно ли каждый из случайных процессов, определенных в задаче
5.2.1, с достаточным основанием считать стационарным или нестационарным? Если вы считаете какой-либо из этих процессов нестационарным, дайте обоснование.
5.4.2. а) Стационарным или нестационарным является процесс, определенный в задаче 5.3.2? Почему?
б) Случайный процесс определен выражением
где А — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [—5, 5]; В — гауссовская случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 25; со — постоянная, 0 — случайная величина, равномерно распределенная в интервале [—я/2, Зя/2]. Величины Л, В и 0 статистически независимы. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этого процесса. Является ли этот процесс стационарным в широком смысле?
5.5.1. Эргодическим или неэргодическим является каждый из случайных процессов, определенных в задаче 5.2.1? Если вы считаете, что данный процесс неэргодичен. поясните это.
X (t) = A cos (Bt+ 0),
в интервале [0, 2л].
X (t) = А + В cos (u>t + 0),
5.5.2. Указать, эргодическим или неэргодическим является каждый из процессов, определенных в задаче 5 4.2, и дать обоснование.
5.6.1. Выборки х (/) реализации х (t) стационарного случайного процесса X (t) наблюдаются в моменты времени, разделенные интервалами длительностью 0,01 с. Значения выборок приведены в таблице.
; * (!) i * (t) i * (О
0 0,19 7 ---1,24 14 1,45
1 0,29 8 --- 1,88 15 ---0,82
2 1,44 9 ---0.31 16 ---0,25
3 0,83 10 1,18 17 0,23
4 ---0,01 И 1,70 18 ---0,91
5 ---1,23 12 0,57 19 ---0,19
6 ---1,47 13 0,95 20 0,24
а) Оценить математическое ожидание этого процесса.
б) При условии, что истинная дисперсия равна 1,0, определить дисперсию вашей оценки математического ожидания.
5.6.2. Оценить дисперсию случайного процесса, определенного в задаче
5.6.1.
ЛИТЕРАТУРА
См. литературу к гл. 1, особенно [3, 6, 8].
Корреляционные функции
6.1. Введение
Понятие корреляции между значениями двух случайных величин было определено в разд. 3.4. Теперь, поскольку уже было введено определение случайного процесса, можно сопоставить эти два понятия для статистического, а не просто вероятностного описания случайных процессов. Хотя описание в рамках теории вероятностей оказывается наиболее полным, так как учитывает все сведения о случайном процессе, существует множество технических проблем, где подобная полнота недостижима и, кроме того, в ней нет необходимости. Например, если наиболее важной характеристикой данного случайного процесса является его средняя мощность или распределение этой мощности по частотному спектру, то в создании исчерпывающей вероятностной модели такого процесса нет необходимости. Если же распределение вероятностей случайных величин заранее неизвестно, использовать вероятностную модель вообще не представляется возможным. В любом из этих двух случаев частичное статистическое описание, основанное на конкретных средних значениях, может оказаться достаточно приемлемой заменой вероятностного подхода.
В разд. 3.4 отмечалось, что корреляция между двумя случайными величинами определяется математическим ожиданием их произведения. Если в качестве двух случайных величин выступают выборки случайного процесса в два различных момента времени, то такое математическое ожидание зависит от того, насколько быстро эти функции изменяются во времени. Можно полагать, что случайные величины будут сильно коррелированы, когда моменты времени очень близки друг к другу, поскольку случайная величина, зависящая от времени, за короткое время не может существенно измениться. В то же время корреляция между двумя выборками, взятыми в далеко отстоящие друг от друга моменты времени, скорее всего весьма мала, так как за такое время случайные величины могут претерпеть практически любые изменения. Поскольку корреляция безусловно зависит от того, насколько быстро меняется во времени случайная величина, можно предположить, что она определяется также и тем, каким образом энергия случайного процесса распределяется по частотному спек-
