Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Если каждая реализация х (/) случайного процесса X (i) является периодической функцией и представима рядом Фурье, результирующая автокорреляционная функция также периодична и также представима рядом Фурье. Однако этот ряд Фурье будет содержать больше членов, чем просто сумма автокорреляционных функций отдельных компонентов, если случайные параметры, связанные с различными составляющими такого процесса, не являются статистически независимыми. Общим случаем, когда случайные параметры не являются независимыми, может считаться ситуация, при ^которой у случайного процесса имеется лишь один случайный параметр, а именно — случайная задержка каждой реализации, равномерно распределенная по длительности основного периода.
6. Если X (0 — центрированный эргодический случайный
процесс, не содержащий периодических составляющих, то
НтЯх(т)=0. (6.12)
|Т|—>оо
При больших т в силу того, что влияние значений этого процесса, имевших место в прошлом, уменьшается во времени, случайные величины X (t) и X (i + т) становятся статистически независимыми.
7. Форма автокорреляционных функций не может быть произвольной. Один из возможных способов определения их формы заключается в расчете преобразования Фурье
оо
^"[Ях(т)]= J ях(т)ехр[— j(0t]dx (6.13)
—оо
при [Ях(т)]> О для всех со.
Смысл ограничения станет очевидным после рассмотрения спектральной плотности в гл. 7. Кроме всего прочего это ограничение отрицает возможность существования автокорреляционных функций с плоскими вершинами, вертикальными боковыми сторонами или какими-либо разрывами в их графических изображениях.
В связи с рассмотрением автокорреляционных функций следует подчеркнуть еще одно обстоятельство. Хотя, согласно (6.1), знание совместной плотности распределения вероятностей / (хг, х2) случайного процесса X (t) является достаточным для однозначного вычисления автокорреляционной функции Rx (tu t2), обратное утверждение не является справедливым. Может существовать множество различных случайных процессов с одинаковыми автокорреляционными функциями. С другой стороны, как будет показано ниже, влияние линейных систем на вид автокорреляционной функции входного сигнала может быть рассчитано без
знания совместной плотности распределения вероятностей этого сигнала. Таким образом, знание корреляционной функции случайного процесса не эквивалентно знанию плотности распределения вероятностей и является значительно менее информативным, чем знание совместной функции распределения.
Упражнение 6.3.1. а) Эргодический случайный процесс X (t) имеет автокорреляционную функцию вида
Rx (т) = 25 ехр (—4 | т |) + 16 cos 20т + 36.
Найдите средний квадрат, математическое ожидание и дисперсию этого процесса.
б) Автокорреляционная функция эргодического случайного процесса X (/) имеет вид
Rx (т) = (25т2 + 36)/(6,25т2 + 4).
Найдите средний квадрат, математическое ожидание и дисперсию этого процесса.
Ответы: ±2, 5, ±6, 9, 41, 77.
Упражнение 6.3.2. Для каждой из следующих функций от т определите максимальное значение постоянной А, при котором эти функции могут быть автокорреляционными функциями:
а) 9 ехр [—4 | т | ] — А ехр [— 3 т| J,
б) 10 ехр [—4 1 х — А |],
в) 20 cos 5т + A sin 5т.
Ответы: 0, 0, 6.
6.4. Измерение автокорреляционных функций
Поскольку автокорреляционная функция играет важную роль в анализе линейных систем со случайными входными сигналами, важной практической задачей при экспериментальном наблюдении случайных процессов является определение этой функции. В общем случае она не может быть вычислена исходя из совместных плотностей распределения вероятностей, так как они редко бывают известны. Усреднение по ансамблю также невозможно, поскольку обычно приходится иметь дело лишь с одной реализацией. При этих обстоятельствах единственно возможной операцией является расчет временной автокорреляционной функции на ограниченном интервале в предположении, что случайный процесс — эргодический.
Для пояснения вышеизложенного предположим, что какой-то случайный процесс X (t) наблюдается в течение интервала времени от 0 до Т секунд в форме реализации напряжения или тока х (/). При этом можно ввести понятие приближенной (оценочной) корреляционной функции в виде
Т~ X
Rx (т) = 11/(7* — т)] j x{t)x{t + x)dt при 0<т«7\ (6.14) о
По всему ансамблю возможных реализаций х (/) эта приближенная функция является случайной. Обратите внимание, что время усреднения равно Т — т, а не Т, потому что указанная реализация (выборочная функция) охватывает только часть наблюдаемых данных, включающих как х (t), так и х (t + т).
На практике выполнить интегрирование в выражении (6.14), как правило, невозможно, поскольку математическое выражение для х (t) не известно. Выход заключается в аппроксимации интеграла суммой выборок из непрерывной временной функции в отдельные моменты времени. Таким образом, если выборки из какой-либо реализации х (t) случайного процесса X (t) соответствуют моментам времени О, At, 2А/, NAt и если их значения х (t) равны х0, xlt х2, ..., xN, то дискретным эквивалентом выражения (6.14) будет
