Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Оу = Ох — 2pRx (т) -)- р2Ох, do'i/dp = — 2#* (г) -f 2ро| = О,
Р = Rx (т)/а*.
Из (6.5) следует, что р прямо пропорционально Rx (г) и является коэффициентом корреляции, определенным в разд. 3.4. Коэффициент р можно интерпретировать как показатель того, насколько мощность случайного процесса X (t) изменилась по истечении времени т. При этом необходимо помнить, что величина р здесь была рассчитана иа основе статистического метода, а также что этот коэффициент является показателем того, насколько сохраняется форма случайного процесса X (t) в среднем по ансамблю и не относится к отдельно взятой выборке (реализации) х (t), что очень важно. Как было показано выше, коэффициент корреляции может принимать значения от +1 до —1. Равенство р = 1 указывает, что формы выборочных функций х (t) случайного процесса X (t) идентичны, т. е. полностью коррелированы. При р = О выборочные функции некоррелированы, т. е. не существует какого-либо фрагмента выборки случайного процесса X (t + г), который являлся бы частью выборки процесса X (t). Значение р = —1 свидетельствует об идентичности форм выборок и противоположности их знаков, а именно: форма выборки процесса X (t + т) является зеркальным отражением формы выборочной функции процесса X (t).
Для эргодического случайного процесса или детерминированных сигналов приведенные выше рассуждения применимы не только к средней мощности вместо дисперсии, но и к временной корреляционной функции вместо функции корреляции по ансамблю.
Поскольку Rx (т) зависит от коэффициента корреляции р и дисперсии Ох случайногр процесса X (t), конкретный вид функции Rx (т) невозможно определить без знания одной из этих величин. Например, если случайный процесс имеет нулевое математическое ожидание и положительную автокорреляционную функцию, то о случайных величинах X (tj) и X (tx + г) можно сказать лишь то, что у них, вероятно, одинаковые знаки 2). Если автокорреляционная функция отрицательна, то указанные выше
2) Это справедливо только если / (xt) симметрична относительно оси х1 = 0.
случайные величины скорее всего имеют противоположные знаки. Если же она близка к нулю, эти случайные величины могут иметь как противоположные, так и одинаковые знаки.
Упражнение 6.1.1. Случайный процесс X (t) имеет вид
(А при 0 sg t sg 1,
*(/) = <
[О для других t,
причем А является случайной величиной, равномерно распределенной между значениями —12 н 12. Пользуясь основным определением автокорреляционной функции (6.1), найдите автокорреляционную функцию этого процесса.
Ответ:
D It (48 ПР" 0 ^ ^ < 1,
«X (‘1. h) = j. ,
(О для других t.
Упражнение 6.1.2. Пусть случайный процесс 1 (() имеет вид Z (t) = = X (t) + X (t + т), где X (t) —стационарный случайный процесс, автокорреляционная функция которого равна Rx (т) = ехр (—т2). Напишите выражение для автокорреляционной функции случайного процесса 2 (t).
Ответ:
Rz (т) = 2 ехр (—¦т2) + ехр [—(т - Xj)2] + ехр [— (т + т,)а].
6.2. Пример: автокорреляционная функция бинарного случайного процесса
Приведенные выше рассуждения можно пояснить, рассмотрев в качестве примера некоторый случайный процесс, автокорреляционная функция которого имеет очень простой вид. На рис, 6.1 представлена типичная реализация дискретного стационарного центрированного случайного процесса X (}) с двумя возможными значениями ±А. Эта реализация может через каждые ta секунд с одинаковой вероятностью принимать то или иное значение А или же оставаться неизменной. По отношению к ансамблю возможных временных функций (реализаций) х (t) время t0 является случайным аргументом, равномерно распределенным по интервалу длиной ta. Это означает, что если рассмотрение проводится по всему ансамблю выборочных функций х (t) случайного процесса X (/), то изменение случайной величины X (/) может произойти в любой момент времени t с равной вероятностью. Предполагается также, что значение этой случайной величины на любом интервале статистически ие зависит от ее значений в любых других интервалах.
Хотя случайный процесс, рассмотренный выше, может показаться далеким от реального, на самом деле он дает представление о весьма распространенной ситуации. В современных цифровых системах связи сообщения, предназначенные для передачи, вначале кодируются двоичными символами. Это осуществляется посредством предварительной дискретизации передаваемого сиг-
нала в равноотстоящие друг от друга моменты времени и после-дующего'квантования выборочных значений по конечному числу уровней,"как это обсуждалось в разд. 2.7 в связи с рассмотрением плотности распределения вероятностей такого сигнала. Каждый уровень затем кодируется группой двоичных символов. Например, каждый из 256 уровней квантования может быть однозначно представлен группой из 8 двоичных символов. В свою очередь этим символам •'можно поставить в соответствие напряжение +Л или —А. Таким образом, последовательность двоичных символов
