Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, из-за особой формы уравнения неразрывности оказывается удобным использовать немного измененные компоненты скорости й и v:
u = u/\i, v—v/\l, (12.2.2)
где
IX = cos фо/cos ф = R~l dy(d<$ (12.2.3)
представляет собой множитель, близкий к единице вблизи цен-
тральной широты фо- (Функция v оказывается очень удобной вследствие того, что она пропорциональна объемному переносу вод, приходящемуся на единицу глубины в заданном интервале долгот.) Подстановка выражений для d%, diр, и нов (11.2.1) и
(11.2.2) дает
DujDt — fv = — p~l др'/дх, (12.2.4)
DvjDt -f fu + (w2 + v2) tg Ф = — p-1 dp'/dy, (12.2.5)
где
H
/ = 2Й8Шф. (12.2.7)
Это точная форма уравнений движения на сфере. Соответствующая форма записи уравнения несжимаемости см. (4.12.11)) такова:
112(дй/дх + dvjdy) + dw/dz — 0. (12.2.8)
Естественно, что из-за сферичности Земли полученные уравнения неполностью совпадают с теми, которые записаны в декартовых координатах. Вместе с тем в окрестности некоторой избранной широты, где (1 стремится к единице, они очень близки к ним.
В случае движений малой амплитуды можно пренебречь членами, содержащими квадраты скоростей. Тогда уравнения движения (12.2.4) и (12.2.5) в меркаторовых координатах примут вид
du/dt — fv——р ~1др'/дх, (12.2.9)
dv/di -f- fti——р-1 др'/ду, (12.2.10)
Это в точности совпадает с аналогичными уравнениями в приближении f-плоскости. Вместе с тем / является теперь функцией от у. Приближение p-плоскости основано на использовании линейной функции / от у с выбранной на некоторой широте точкой отсчета. Оно выводится точно так же, как это было проделано в разд. 11.8 в более специфическом случае. Первый шаг •состоит во введении специальных безразмерных переменных
x* = x/L, y* = y/L, f=$Lt, П9 9 1П
v* = ti!v0, v* = v/vq, p* = p'/pLfv0,
где vq является масштабом скорости, L — горизонтальным масштабом расстояний. Что касается вывода приближения р-пло-скости для уравнений движения, то масштаб L при этом не
обязательно принимать равным радиусу Россби а, как это было
сделано в разд. 11.8. Также необязательно считать функцию р' независящей от глубины. Оба этих предположения имеет -смысл использовать только при рассмотрении уравнения неразрывности.
Учитывая приведенные выше масштабы, разложение параметра Кориолиса / по у* можно записать следующим образом:
f-fo(l+8L^), (12.2.12)
где /о является значением на центральной широте, a 8l представляет собой малый параметр. Он определяется формулой
8l = Lctgcpo/tf = pL//0, (12.2.13)
в которой буквой р обозначен градиент параметра Кориолиса
J3 = (2Q./R) cos ф0. (12.2.14)
Отметим, что если в качестве параметра L взять радиус Россби, то zl будет идентично числу е из формулы (12.1.9). Процедура разложения основана на предположении, что число &L мало, т. е. горизонтальные пространственные масштабы малы по сравнению с радиусом Земли и центральная широта располагается не очень близко к экватору. В приближении первого порядка по еl
линеаризованные уравнения движения имеют вид (11.8.11) и
(11.8.12), как в случае экваториальной зоны, и выражения для скоростей в квазигеострофическом приближении можно записать в форме (11.8.15), (11.8.16). (Отметим, что если L выбрано не равным а, то в формулах нужно е заменить на &L.) Другими словами, в первом приближении течения являются геострофиче-скими: и = ив, v = vg, где формулы для u,g и vg в размерных переменных имеют вид
f0ug = — р-'др'/ду, foVg = p~1dp'/dx. (12.2.15)
Знак тильды над переменными й и д в приближенных уравнениях теперь будет опускаться. (Далее он будет использоваться еще один раз в точном уравнении.)
Геострофические течения, характеризующиеся формулами
(12.2.15), бездивергентны, и соответствующие им уравнения являются вырожденными. Поэтому для расчета изменений течений со временем необходимо использовать уравнения более высокого порядка точности. В этой связи оказывается удобным определить агеострофические составляющие течения иа, va, т. е.
u = ug-\-ua, v = vgJr va. (12.2.16)
Как показывают уравнения (11.8.15) и (11.8.16), скорости агеострофического движения по отношению к геострофическому имеют порядок eL и определяются следующими уравнениями в размерных переменных:
fo«a = — Pi/% — dVg/dtB= р-1/о-1 {$удр'/ду — d2p'/dtdx}, (12.2.17) fo^a — — $yvg + dug/dt^p~lfol {— §ydp'ldx—d2p'ldtdy}. (12.2.18)
Они характеризуют эволюцию этого движения и называются линейными уравнениями в квазигеострофическом приближении.
Как показывают эти уравнения, поле агеострофических скоростей состоит из двух составляющих. Одна из них |3-состав-ляющая (с множителем |3) отражает то обстоятельство, что при заданном градиенте давления скорости течений, находящихся с ним в геострофическом равновесии на каждой широте (а не только на центральной), возрастают по направлению к экватору. По этой причине движение становится дивергентным и
