Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
В разд. 11.8 приведен аналог этого уравнения с учетом выбранных масштабов переменных. Уравнение выглядит наиболее просто, когда горизонтальный пространственный масштаб L выбирается равным радиусу Россби а, поскольку при этом все члены уравнения (12.2.29) формально имеют один и тот же порядок.
Подстановкой формул (12.2.24), (12.2.25) в (12.2.29) можно получить уравнение для одной зависимой переменной:
Dt V дх2
Оно представляет собой уравнение для потенциальной завихренности мелкой воды (11.3.1), записанное в квазигеострофическом приближении. Его можно получить при разложении формулы
(11.3.2) для потенциальной завихренности в окрестности центральной широты сро с учетом того, что Т1«Я. Это дает
HQ ~ q = /о + + ?* ~ МП, (12.2.31)
где q называется квазигеострофической потенциальной завихренностью. Она удовлетворяет уравнению
Dgq/Di = 0, (12.2.32)
которое представляет собой иную форму записи уравнения (12.2.30).
Уравнение для кинетической энергии квазигеострофического потока можно вывести, умножая уравнение (12.2.24) на vg и вычитая это произведение из ug, умноженного на уравнение {12.2.25). При этом получается
(12.2.33)
2 Dt V g 1 s) p дх p dy v '
В случае мелкой воды столь же просто можно вывести и уравнение для полной энергии. Для этого надо сложить уравнение (12.2.33), умноженное на Н, и уравнение (12.2.29), умноженное на p'{—pgr\):
Т5Г [j Н К + ”1) + Т2Ч2] + Ж («Н Ч“.) + (?Ят1°а) = °-
(12.2.34)
Сравним полученное уравнение с аналогичным соотношением (5.7.4) в случае иевращающейся жидкости. Выражения
для потенциальной энергии в них совпадают, однако вклад в кинетическую энергию в квазигеострофическом приближении дают только агеострофические компоненты скорости. Геострофи-ческое течение параллельно изобарам, поэтому оно не совершает работы, и два последних члена левой части уравнения
(12.2.34) (они характеризуют источники энергии) также содержат только агеострофические составляющие потока.
12.3. ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ
В гл. 11 мы изучали дисперсионные характеристики экваториальных планетарных волн. Теперь рассмотрим волны, представимые в форме
“П = г)0 cos (?я + ^ ©0» (12.3.1)
во внетропических районах. После пионерской работы Россби с соавторами [688] (см. Платцман [629]) их также называют волнами Россби. Подстановка выражения (12.3.1) в уравнение (11.8.20), которое представляет собой результат линеаризации уравнения (12.2.30), дает дисперсионное соотношение
со = - (3k/(k* + I2 + fife2). (12.3.2)
Оно показывает, что планетарные волны всегда имеют западную фазовую скорость. Линиями равных частот в пространстве волновых чисел являются окружности
{к + р/2©)2 + /2 = (р/2со)2 - (/о/с)2, (12.3.3)
которые показаны на рис. 12.1. В соответствии с определением (5.4.11), групповая скорость есть градиент © в пространстве волновых чисел, и поэтому эта скорость оказывается перпендикулярной к изолиниям со; она отмечена на рисунке стрелками. Выражения для составляющих групповой скорости получаются с помощью дифференцирования (12.3.2) и записываются следующим образом:
св=*(дфк, дф1)= р (k2 — l2 — f2/c2, 2kl)/(k2 + l2 + f2/c2y. (12.3.4)
Из полученного выражения следует, что линия, разделяющая волны с групповой скоростью восточного и западного направлений, является гиперболой
k2 = l2 + f2/c2. (12.3.5)
Она показана на рисунке. Поскольку знаки сшу и со// противоположны, волны с северной составляющей фазовой скорости имеют южную групповую скорость, и наоборот. (Примечание: изменение знаков k, I и © в соотношении (12.3.1) не изменяет вида волны, так что положительным значениям © в левой части
Рис. 12.1. Дисперсионная диаграмма планетарных волн умеренных широт. Изолинии частоты показаны в единицах, равных |3c/f0. Групповая скорость, являющаяся градиентом частоты в пространстве волновых чисел, перпендикулярна к изолиниям частоты. Ее направление отмечено стрелками, а величина обратно пропорциональна расстоянию между изолиниями. Изолинии частоты — это окружности, стягивающиеся в точку при оэ = 0,5|3c/fo- Планетарных волн с большей частотой не существует. Штриховой линией показана гипербола, разделяющая волны с восточной и западной групповой скоростью.
плоскости волновых чисел на рис. 12.1 соответствуют равные им по величине и обратные по знаку значения со в правой части этой плоскости.)
Поле скоростей, индуцированное планетарной волной, в первом приближении является геострофическим и определяется формулой
(ugt vg) = (/, — k) (g-no/fo) sin i^x + ly — oo/). (12.3.6)
На рис. 12.2 дан пример подобных движений. Интересно отметить, что это поле практически идентично атмосферной волне, которая была в 1847 г. кратко описана Бертом [61]. Ее иллюстрация показана на рис. 7.7. Единственное отличие состоит в направлении фазовой скорости. Оно может быть следствием того обстоятельства, что на рис. 12.2 показаны направления волн относительно среднего движения, в то время как набросок Берта характеризует направление движения относительно земли.
