Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
p-часть агеострофической скорости = — (p#/f0) {ug, vg) (12.2.19)
создает дивергенцию, равную — $vg/fQ=s — ($1рЩдр'/дх.
Другая составляющая скорости представляет собой изалло-барическое течение, которое уже рассматривалось в разд. 8.6. Оно равно
изаллобарическая часть агеострофической скорости =
= - 9~lfo4dldx, dldy)dp'/dt, (12.2.20)
и имеет дивергенцию, равную
— K'dydi зэ — р"1 f0“2 (д2/дх2 + д2/ду2) dp'/dt,
где ?g— геострофическая составляющая вертикального компонента относительной завихренности. При формальном выборе масштабов переменных масштаб времени (pL)-1 был взят таким, что две части агеострофической скорости должны были формально иметь один и тот же порядок величины. Для того, чтобы приближение было справедливым, необходимо только, чтобы агеострофическое движение было мало по сравнению с геострофическим. Неравенство еь < 1 означает, что это условие выполняется для |3-части агеострофической скорости. Аналогичное условие для изаллобарической скорости является независимым. Как установлено в разд. 8.16, для этого следует потребовать, чтобы временной масштаб изменений был велик по сравнению с /-1.
Обобщение проведенных построений с учетом нелинейной формы уравнений оказывается достаточно несложным. Формально процедура состоит в выборе такого масштаба скорости :Vq (формула (12.2.11)), при котором нелинейные адвективные члены и производная по времени в (12.2.6) имеют одинаковый порядок, т. е.
a0=|3ZA (12.2.21)
Итак, в качестве масштаба скорости принимается произведение параметра (3 и квадрата горизонтального пространственного масштаба. При этом получаются те же уравнения, что и ранее, но производная по времени d/dt теперь заменяется на первое приближение формулы (12.2.6), а именно на выражение
Dg/Dt = d/di Н- иёд/дх + ved/dy, (12.2.22)
которое представляет собой индивидуальную производную для
геострофической части движения. Третье слагаемое в левой части формулы (12.2.5) мало по сравнению с оставшимися, поскольку
Ltgcpo < R. (12.2.23)
Применительно к средним широтам это требование равносильно условию малости еl (см. (12.2.13)).
Таким образом, формулы (12.2.17) и (12.2.18) должны приобрести следующий вид:
fo «а = - Рг/Ug - DevJDt = p-'fo"1 {$У %] , (12.2.24)
J0va = - f>yvs + DguJDi = р-V{- Рг/-^ - ^ ¦ (12.2.25)
Теперь можно выделить и третью составляющую агеострофиче-ской скорости, а именно
нелинейная часть агеострофической скорости =
= ^fc'(-dldy, d/dx)(u2s + vl)-f;'ie(ue, ов). (12.2.26)
Ее дивергенция равна —/о”1 (иЁд/дх + vgd/dy)lg. В формуле
(12.2.26) член, характеризующий ускорение, был записан в форме, предложенной Лагранжем (см. разд. 7.10), т. е. в виде суммы слагаемого Бернулли (которое не дает вклада в дивергенцию скорости) и произведения скорости и завихренности (которое вносит вклад в агеострофическую дивергенцию).
Выбирая масштаб скорости в форме (12.2.21), мы получаем, что нелинейная часть агеострофической поправки к скорости имеет одинаковый порядок с остальными частями. Однако чтобы геострофическое приближение было формально справедливым, для масштаба скорости необходимо потребовать выполнения независимого условия. Оно состоит в том, что нелинейная часть агеострофической скорости должна быть малой по сравнению с геострофической скоростью. При этом параметр Ro, определяемый соотношением
Ro = v0/f0L, (12.2.27)
тоже должен быть малым. Указанный параметр называется числом Россби или числом Кибеля. Впервые он был предложен в работе И. А. Кибеля 1940 г. [399] (см. Филлипс [624]). Итак, для использования геострофического приближения необходимо, чтобы выполнялись три условия, связанные с тремя составляющими агеострофического движения: (1) 8l*C1, что обеспечивает малость р-составляющей скорости; (2) масштаб времени >>fq1 (для того, чтобы была мала изаллобарическая составляющая) и (3) Ro <С 1 (чтобы была мала нелинейная часть).
В частном случае движения слоя мелкой воды р'/р не зависит от вертикальной координаты и равняется grj, где g — ускорение силы тяжести, а т\ — отклонение поверхности. Для замыкания системы уравнений привлечем уравнение неразрывности (11.2.4). В меркаторовых координатах для океана постоянной глубины оно имеет следующий вид (см. (12.2.8)):
(Я + г]) [х2 (дй/дх + dv/dy) + Drj/D/ = 0. (12.2.28)
В приближении первого порядка (а) число р, заменяется на единицу, (б) дивергенция полной скорости заменяется на дивергенцию ее агеострофической части (поскольку дивергенция геострофической скорости равна нулю), (в) вместо D/Dt используется Dg/Dt, т. е. члены вида иадц/дх считаются прене-
брежимо малыми, и, следовательно, (г) члены вида г)диа/дх также исключаются. Таким образом, приближенное уравнение записывается в форме
Н (dujdx + dvjdy) + Det\/Dt = 0. ‘ (12.2.29)
