Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Все высокочувствительные детекторы, разработанные до настоящего времени (1973 г.), малы по сравнению с длиной волны, поэтому их можно исследовать методами ньютоновской физики с помощью вынуждающих сил (37.6).
Полезно выработать физическое представление об этих силах
— В 2 т/’СоЗДаваемыхгравитационнымиволнамиразличных поляризаций. В этом могут помочь фиг. 35.2 и дополнение 37.2. (Читателя может заинтересовать изучение, сравнение и приведение в соответствие между собой фиг. 35.2 и дополнения 37.2.)
37.3. Коэффициенты связности в собственной системе отсчета
а. Вычислите для метрики (37.2) без учета поправок
0(|а?|). [Ответ: формулы (13.69) с со~=^0.]
б. Вычислите Ri g g j, используя классическую формулу (8.44) и оставляя невычисленными пространственные производные коэффициентов связности, поскольку неизвестны поправки 0(\хі\)
в [Ответ: R3 OUQ = T3 оо, ft—°h-\
в. Воспользуйтесь последним ответом для вычисления поправки 0(\хі\) к Г^оо- [Ответ:
Г' ofi = «Ч1 + а%хк) + Rl OhOxhj^ 0Hxh I2)-] (37-7)
37.4. Почему а ¦ ас?
Объясните происхождение поправки а-ж, в уравнении (56) дополнения 37.1. [Указание. Поставьте себя на место наблюдателя, покоящегося в начале пространственных координат, который следит за тем, как две свободно падающие частицы движутся под действием силы инерции. В момент времени t = 0 поместите одну частицу в начале координат, а другую — в точке хj. С течением времени расстояние, разделяющее частицы в их общей лоренцевой системе отсчета, остается фиксированным, поэтому, с точки зрения наблюдателя, в Ji =0 происходит лоренцево сокращение.]
37.5. Ориентация диаграмм поляризации
Выведите соотношение (2) дополнения 37.2.
§ 37.2. Ускорения в механических детекторах 241
I
Дополнение 37.1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОГО ДЕТЕКТОРА
Рассмотрим «элемент массы» механического детектора (например кубик алюминия, каждое ребро которого равно 1 мм, если детектор представляет собой болванку, показанную на фиг. 37.1, или элемент жидкости объемом 1 мм3, если детектором
служит трубка, заполненная жидкостью, см. фиг. 37.2). Этот элемент массы испы-
тывает сжатия и растяжения под действием окружающего вещества и электромагнитных полей по мере того, как вещество, из которого состоит детектор, колеблется или течет, или с ним происходит что-либо еще, предусмотренное его конструкцией. Пусть
__/4-сила на единицу массы, действующая на элемент массы \
t = Uo стороны окружающего вещества и электромагнитных полей J ‘ ' '
Эта 4-сила придает элементу массы 4-ускорение Vuu = f или на языке компонент в собственной системе отсчета детектора /3 = Dui Idx. Предположим, что такой элемент массы обладает очень малой скоростью (и 1) относительно собственной системы отсчета детектора (т. е. относительно его центра масс). Тогда, отбрасывая члены порядка О (у2), О (| Xі |2) и О (| х* | V) , имеем [см. (37.2)]
dt/dx = u°l = I =CL^x* = 1 — а-х (2)
и
/* = <Ра?Idxz + Г^ - рuP = (d?x* /Л2 + ГГ^^) (1 — 2а-ас). (3)
В упражнении 37.3 Г^дд вычисляется с точностью до О (] |). Подставляя резуль-
таты этого упражнения, после преобразований находим
cPx^/dt2 = (1 + 2а -х) P — a* (I -f а -х) — R* „„„х* (4)
(,уравнение движения элемента массы).
Рассмотрим это уравнение сначала с точки зрения теории Эйнштейна, а затем с точки зрения теории Ньютона.
В теории Эйнштейна d2x4dt2 рассматривается как «координатное ускорение» элемента массы, но при этом имеется в виду, что с точностью до О (| х^ |2) координатные длины и истинные длины совпадают [см. формулу (37.2)]. Координатное ускорение d2x} Idt2 обусловлено тремя причинами: 1) внешней приложенной силой
(1 2а • х) р = (dPx? /й^)внешн. сила =3 (1 "Ь 2d • х) (дїхі /йт2)ВНЄШНі сИла (5а)
(происхождение поправки а ¦х объясняется просто преобразованием от координатного времени к собственному времени), 2) «силой инерции», обусловленной ускорением системы отсчета,
(1 "Ь ® ‘ ЭС) = {.d?xi /dtz)calIa инерции (56)
(см. упражнение'37.4, где объясняется поправка а -х), и 3)'«силой, связанной с рима-новой кривизной», в которую входит риманова кривизна, обусловленная локальными ньютоновскими гравитационными полями (поля Земли, Солнца, JTymj и т. д.),
16-018
I 242 37. Детектирование гравитационных волн
и риманова кривизна, обусловленная падающими на детектор гравитационными волнами,
— (R я )волны?* (R* -> ~ --.)ньют. поля#* = (d?xi fdtz)кривизна (5в)
UftU UftU
(линейная суперпозиция, поскольку гравитационные поля в Солнечной системе очень слабы). Конечно, элемент массы не «чувствует» эту «силу, связанную с рима-новой кривизной»; эта сила не создает 4-ускорения. Вместо этого, подобно силе инерции, она связана с выбором системы отсчета. Пространственные координаты Xі определяют истинное расстояние и направление от центра масс детектора; риманова кривизна пытается изменить эти истинное расстояние и направление («относительное ускорение», «отклонение геодезических»).
В теории Ньютона уравнение движения (4) рассматривается с иной точки зрения. Поскольку известно, что пространственные координаты Xі определяют истинное расстояние и направление от центра масс детектора, физик-ньютонианец представляет их себе как классические эвклидовы пространственные координаты ньютоновской теории. Тогда уравнение (4) может быть переписано в виде