Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В тексте при расчете излучаемых волн подобные вклады не учитываются, поскольку они не имеют отношения к самому процессу излучения. Скорее их можно отнести к процессам распространения, рассматриваемым в предыдущей главе. Они включают фоновую кривизну, создаваемую за счет энергии-импульса гравитационных волн, рассеяние волн на фоновой кривизне, рассеяние волн друг на друге и т. д.; все они несущественны в окрестности самого источника (например, при г 1000?), так как медленно движущийся источник излучает очень слабо.
15*
228 36. Генерация гравитационных волн
и разложим запаздывающий интеграл (36.38) по степеням отношения х'Ir— точно так же, как это делалось в § 19.1. (Такое разложение обосновывается предположением о медленности движения fJR ~ т./L I.) В результате получаем
Fv(f, ж)-у j [Г*'-(ac', ?-r)-ftu’(x\ «-г))ЛЧ-+ °{тег \ (x'.t-r)+t^(x\ f-r)]c/V}. (36.40)
о) вычисление Ph И3 Десяти компонент Iiixv нас интересуют только шесть простран-в волновой зоне ственных компонент h3k, поскольку лишь они необходимы при проекции, в результате которой получается поперечное поле излучения с равным нулю следом hjh . Пространственные компоненты определяются выражениями (36.40) через интегралы по «распределению натяжений» T3k + t3h. Для сравнения с ньютоновской теорией удобнее выразить hJk через интегралы по «распределению энергии» T00 + г00. Этот переход можно осуществить с помощью точных уравнений движения TltnJV — O1 которые в используемой системе координат [см. (36.36) и (36.37), а также § 20.3] принимают вид
(Tltiv^itlv)iV=O. (36.41)
Применяя эти уравнения дважды, получаем тождество
(Т™+<“).*=-(70'+*0')і(,о--= _(ЗГ'0+*'0)і0,=
= + (Г'm+t
С учетом элементарных правил многократного дифференцирования отсюда следует
1(Г0О+ ,00) _ {Т Г™ + t ХІХЬ =
== [(Г^m+ t rm) x3x'l],mf —
-2 [(T1 'Ч tf}) xh +-(Trh^t '*) , 4-
+ 2 (Tjk+tjh),
откуда
j (Tjh -f t3k) d3x ^ ± [cPIjk!dt2). (36.42a,
где
Ijh= j [T100 (t, x)^-t°°(t, X)] x3xh d3x. (36.42П;
§ 36.10. Расчет поля излучения 229
2
Введем теперь допущение о почти ньютоновском характере источника. Это гарантирует, что вклад гравитации в полную энергию составляет лишь малую долю:
t00 ~ (O)j)2 ~ M2llRi ~ ( Г00 <С T00-,
следовательно,
Ijk (t) — j T00 (t, ас) сЛг. (36.426')
Таким образом, величина Ijk представляет собой второй момент распределения масс.
Комбинируя уравнения (36.42) и (36.40) и замечая, что внутри источника I Ph I ~ I Ф, 7Ф, k I ~ T00 | Ф |, получаем
гЛ(1,ж).?^1+о[1(^+|Ф|)А.и]. {l + 0[ir»L+-]4.}. (36.43)
*
T
пренебрежимо мало согласно (36.18)—I
Ho нам нужно получить Aj/, а не hjk. Это можно сделать, сначала опуская индексы и используя г) = б ^m, а затем с помощью проекции выделяя поперечную с равным нулю следом часть Wk (TT-часть); при этом используется оператор проекции для распространяющихся по радиусу волн
pZm = 6fm -п(пт-, п< = Xе!г (36.44)
(см. дополнение 35.1). (Поскольку Jijй и hjk отличаются лишь свертками, они имеют одинаковые ТТ-части. В результате получаем
тт 2 d2lJJ U — г)
hJhT (t, х) = f 3hdT2 \ (36.45а)
Ijh -PjtfIf mPmh ^ (PfmIm g)- (36.456)
Это не самая лучшая форма, в которой может быть записан ответ, поскольку внешний наблюдатель не может непосредственно измерить второй момент распределения масс Ijk. К счастью, Ijh можно заменить приведенным квадрупольным моментом
іIh * Ijh-j bjhl =-- J (^00+ П jSjhr2) <Рх (36.46)
и написать
где
7) конкретизация для случая почти ньютоновских источников
8) переход с помощью про-
TT
екции к h
9) выражение TT hjk через
приведенный
квадрупольный
момент
230 36. Генерация гравитационных волн
Такая замена допустима, поскольку ТТ-части величин Ijh и Iik тождественны друг другу (упражнение 36.8).
Приведенный квадрупольный момент fjh обладает вполне определенным простым физическим смыслом для наблюдателя, находящегося вне источника. В ближней зоне (г X), но вне источника, так что с большой точностью справедлива ньютоновская теория для вакуума, ньютоновский потенциал
[см. уравнение (36.38)]. Любой почти ньютоновский медленно движущийся источник удовлетворяет неравенству
(напомним, что ta$ ~ (Oi 7-)2 ~ T00 | Ф |). Следовательно, можно написать
при г к, но тем не менее при достаточно большом г, так что справедлива ньютоновская теория для вакуума; здесь
= выражение (36.46).
Таким образом, величины ijh, вторые производные которых по времени определяют поле излучения посредством уравнения (36.47), в точности совпадают с компонентами приведенного квадруполъного момента звезды, измеренными наблюдателем, который исследует ньютоновский потенциал Ф глубоко внутри ближней зоны (г к) («эмпирический квадрупольный момент»).
Окончательный ответ (36.47) для поля излучения, выраженный
TT ¦—
через fjfc , приведен в кратком перечислении результатов в § 36.7. Там же приведены выражения для эффективного тензора энергип-импульса излучения и излучаемых энергии и момента импульса [выражения (36.22) — (36.25)]. Эти выражения можно вывести, используя формализм коротковолнового приближения (см. упражнение 36.9).
