Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ds—(I + 2а* х*) (dx “)2~r 8-? ^ dx$ dx& +
+ 0(\x^ I2) dxa dx$ (37.2)
[выражение (13.71) при со( = 0]. Здесь а? —пространственные компоненты 4-ускорения детектора. (Поскольку а должно быть ортогонально 4-скорости детектора, a ^ обращается в нуль. Заметим, что с точностью до члена, связанного с ускорением, в («члена, описывающего гравитационное красное смещение»; см. § 38.5 и упражнение 6.6) эта система отсчета является локально лоренцевой.
37.1. Плоская волна общего типа в ТТ-калибровке
Покажите, что плоскую волну самого общего типа можно описать в поперечной бесследовой калибровке в линеаризованной теории с помощью выражений (37.1). [Указание. Выразите плоскую волну как суперпозицию (интеграл Фурье) монохроматических плоских волн и опишите каждую монохроматическую волну выражениями (35.16). Используйте уравнения (35.10) и (35.23) для вычисления
D „ rr(GW) і
37.2. Движение пробной частицы в собственной системе отсчета
Покажите, что медленно движущаяся пробная частица, свободно падающая в собственной системе отсчета, определяемой выражением (37.2), подчиняется следующему уравнению движения (уравнению геодезических):
d2xj Idt2 = —а] — О (I xh I).
Поэтому величину —а г можно интерпретировать как «локальное гравитационное ускорение» (см. подпись к фиг. 37.1).
УПРАЖНЕНИЯ
I
238
37. Детектирование гравитационных волн
Уравнения движения для механического детектора
§ 37.2. УСКОРЕНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХ ДЕТЕКТОРАХ
Собственная система отсчета, заданная выражением (37.2), наиболее близка к той системе отсчета, в которой при анализе детектора можно было бы пользоваться ньютоновской физикой. В действительности она настолько близка к ньютоновской системе отсчета, что (согласно анализу, проведенному в дополнении 37.1) уравнения движения для механического детектора, записанные в этой собственной системе отсчета, принимают классическую ньютоновскую форму, и их можно рассматривать и работать с ними чисто ньютоновским образом, за одним лишь исключением: гравитационные волны создают вынуждающую силу неньютоновского происхождения, которая дается известным уравнением для отклонения геодезических
(сила на единицу массы (т. е. ускорение)' частицы в точке х * относительно центра масс детектора .Ti=O
=3 —(Rj0k0) За счет волнх • (37.3)
за счет волн
Чтобы пользоваться этим уравнением и вычислять поперечные сечения детекторов, необходимо знать компоненты тензора кривизны Ra^-в» и тензор энергии-импульса гравитационных волн ' в собственной системе отсчета детектора. Невозможно
вычислить Ra ? - g непосредственно из метрических коэффициентов ^а?’ К0Т0Рые даются выражением (37.2); чтобы сделать это, нам понадобились бы неизвестные поправки О (| х112). Однако легко получить Ra ?- g и T1Jf из соответствующих компонент в ТТ-систе-ме координат [формулы (37.1)], применяя матрицу преобразования И дха/д^Ц. Чтобы сделать преобразование тривиальным, выберем ориентацию системы координат таким образом, чтобы с точностью до О (| Iiilv I) 1 она совпадала с собственной системой отсчета детектора вблизи его центра масс в интересующий нас момент времени t = t = 0. Тогда матрица преобразования будет
§ 37.2. Ускорения в механических детекторах 239
I
иметь вид
д*Чдх* = 81 + 0 (Ativ) + О (a j*?) + О (| a ) t). (37.4)
T 1'
поправки, обусловленные рябыо в пространстве-вре- | мени. создаваемой грави- ~ тационными волнами
поправки за счет красного смещения
~ поправки, обусловленные относительными скоростями систем отсчета, возникающими в результате .ускорения детектора
Испытываемое детектором ускорение имеет характерное значение
I a J = «гравитационное ускорение на Земле» =
= 980 см/с ~ 1 ,/(световой год).
Поэтому с огромной точностью И BotfxIdxv-]] =||б®|| и компоненты тензоров в этих двух системах отсчета одинаковы:
\ • * 1 * *
D _ __ D _______ Л P — 7? _ — А
¦пх0х0~ у 0 у 0 2 +’ X Oy 0 у 0 J 0 2 *’
rp{GW) _ ^(GW) T1(GW) _ 1 , \ї , /q7
iOO -1^zz =— 1Gz ="І6ЇГ^+ ' Х'ср- ПО BP
1см. формулы (37.1)].
Комбинируя формулы (37.3) и (37.5), получаем выражения для вызванных волной ускорений относительно центра масс детектора
—я—] =—я ~кх~— я ~пУ — 4" {А+х + Аху),
JfZ / гсОїО х OyQif 2V '
\ I за счет волн
-?-) = \{~А+У+Ахх),
Ul J за счет волн
(37.6)
I &Ч \
I dt2 !
= 0.
за счет волн
Эти выражения, подобно уравнениям отклонения геодезических, справедливы лишь в областях, малых по сравнению с длиной волны. В областях размером вторые производные от метрики
(т. е. компоненты тензора Римана) уже не определяют отклонение геодезических и силы, обусловленные волнами. Поэтому при
Описание воли в системе отсчета детектора
Явный вид ускорений, обусловленных гравитационными волнами
Этот анализ справедлив только для «малых» детекторов (L <6 %)
I
240 37. Детектирование гравитационных волн
УПРАЖНЕНИЯ
исследовании больших детекторов (L > к) необходимо отказаться от «локальной математики» тензора кривизны и заменить ее «глобальной математикой», например проводить исследование в ТТ-системе координат, используя метрические компоненты Jiiiv. Пример приведен в упражнении 37.6.
