Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
всех остальных моментов, то полное число всех конфигураций этих
N моментов
равно 2N. Состояние системы мы будем опре-
делять, указывая ориентацию момента в каждом из узлов. Таким образом,
имеется 2N состояний. Для представления какого-либо одного состояния
системы из N моментов используем следующий наглядный образ:
mwum... (ia)
Поскольку сами узлы размещены в определенном порядке, мы можем
последовательно пронумеровать их, например слева направо, и состояние
(1а) примет вид
Мг^зЫ^б'Ы'з'М'ю • • • (16)
Оба набора символов обозначают одно и то же состояние системы, а именно
состояние, в котором момент в точке 1 равен + р, в точке 2 +р, в точке 3
-р и т. д.
Все различные состояния системы содержатся в символическом раскрытии
следующего произведения N сомножителей:
(ti + U) (ta + U) (1з -Из) .. • (tv + tv). (2a)
M =0pu.
Ж =0p>
Рис. 2.2. Четыре различных состояния системы из двух элементарных
магнитов (N = 2).
18
ГЛ 2. МОДЕЛЬ, ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Правило их умножения определяется соотношением
(ti + W (I2 + I2) - 11Т2 +11 ^2 + jit2 + Ыг- (26)
После перемножения выражение (2а) запишется в виде суммы
2N членов - по одному на каждое из 2N возможных состояний. Каждое
слагаемое равно произведению N символов, соответствующих отдельным
магнитным моментам рассматриваемой цепочки, и каждое слагаемое обозначает
независимое состояние системы, представленное в виде простого
произведения такого, например, типа:
T1I2I3 • • • tV (3)
Вернемся к системе из двух элементарных магнитов. При перемножении (fi +
ji) и (|2+|г) получается четыре возможных состояния:
(ti + W (Т2 + W - tlt2 + T1I2 + trt2 + (4)
как и в (26). Здесь сумма не представляет какое-то состояние,
а служит лишь способом образования четырех возможных состояний системы.
Поэтому стоящее в левой части (4) произведение называется производящей
функцией: она "производит" состояния системы.
Производящая функция для состояний системы из трех спинов имеет вид
(ti + li) (Т2 + W (Тз + W-Выполняя умножение, получим 23 = 8 различных
состояний:
titats
'Т'зТгФз titata ^ТгТз
\1I2I3 4'ita4'3 iitats
¦1т Ыз
Полный магнитный момент нашей модельной системы мы будем обозначать
рукописной буквой Ж. Очевидно, что величина Ж меняется от Nц до -Л^ц.
Набор возможных ее значений записывается следующим образом:
Ж - N\i, (N - 2)ц, (N - 4)р, (N - 6)р, ..., - ЛГр. (5)
Набор всевозможных значений Ж можно получить, начав с состояния, в
котором все спины направлены вверх (Ж = Ыц), и переворачивая
последовательно по одному спину. Перевернув все спины, мы получим в конце
концов состояние, в котором все спины направлены вниз (Ж = -Л^ц).
Число состояний равно 2N, число возможных значений полного момента равно
N + 1, и если N > 1, то 2N > N + 1. Таким
ПОДСЧЕТ СОСТОЯНИЙ. СТЕПЕНЬ ВЫРОЖДЕНИЯ g(N. т) i9
образом, число состояний больше числа возможных значений полного момента.
Например, при АЛ = 10 имеется 210 = 1024 состояния, приходящихся всего на
одиннадцать разных значений полного магнитного момента. При больших N
много различных состояний системы может иметь одинаковое значение полного
момента Ж.
Система с N = 2, представляемая функцией (4), имеет
одно
состояние с Ж = 2ц, два состояния с Ж = 0ц и одно
состояние
с Ж = -2ц. Эти состояния и соответствующие им значения Ж показаны на рис.
2.2.
Только одно состояние системы имеет полный момент Ж -= Уц, а именно
состояние
tttt... tftt. (6)
Но существует N способов получить состояние с одним спином *),
перевернутым вниз; одно из них записывается в виде
mt-.-tttt, (7)
другое - в виде
Utt-.-UU, (8)
а остальные получаются из (6) переворачиванием каждого отдельного спина.
Состояния (7) и (8) обладают полным моментом Ж - N\i - 2ц.
Подсчет состояний. Степень вырождения g(N, т)
Легко найти аналитическое выражение для числа состояний с + m спинами,
направленными вверх, и l/2N- т спинами, направленными вниз, где т - целое
число **). Удобно считать У четным числом. Некоторые результаты данной
главы следовало бы слегка изменить, если N - нечетное число, однако вряд
ли стоит тратить время для специального изложения этого случая.
Действительно, нас интересуют случаи, когда N очень велико, и в такой
ситуации не имеет существенного значения, является ли N четным или
нечетным.
Рассмотрим разность
(число спинов вверх) - (число спинов вниз) = 2т.
Величина 2т называется спиновым избытком. Его определение иллюстрирует
рис. 2.3. Для дальнейшего очень удобно сохранить в определении спинового
избытка множитель 2.
*) Здесь слово "спин" применяется для сокращенного обозначения
элементарного магнита.
**) Когда мы переворачиваем один элементарный магнит из положения вверх в
положение вниз, то '/2ЛГ + ш переходит в V2W + m-1, а '/гУУ - m переходит
в V2IV - m + 1. Разность (число спинов вверх) - (число спинов вниз)
меняется от 2ш до 2т - 2.
20 гл. 2. МОДЕЛЬ, ДОПУСКАЮЩАЯ ТОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
Произведение N сомножителей в (2а) символически можно записать в виде
