Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение 2. Пусть T1 выбрано так, как указано выше, а остальные T2, ..., тг произвольные (положительные). Тогда І
J^g(TyX) ^ 0 при InX^lr, где г = П(0)/Л(0) > 1.
J=і
Для доказательства достаточно заметить, что все множители g(x2X), ... не превосходят единицы. Итак, выделен тот «участок спектра», за который отвечает параметр T1. Выберем т2 так, чтобы левая граница 0-интервала для g(t2X) совпала с правой для g(i|X): іг1г = A(Q), или т2 = A(Q)/lr = TiZr. Тогда правая граница 0-интервала функции g(x2X) определится соотношением т2Х = П(0), т.е. X = П(0)/т2 = Ir2.
Утверждение 3. Пусть T1 и T2 выбраны так, как указано выше, остальные т3, ..., Tj произвольные (положительные). Тогда
І
П S(TyX) Ss 0 при I Sg X *5 Ir2.
J=1
Продолжая строить последовательность примыкающих друг к другу 0-интервалов для функций g(x3X), ..., получаем, очевидно, последовательность параметров:
Ti = IZr, T2=T Jr, ..., Xj^l = IjZr = Xjrj.
Так продолжаем до тех пор, пока очередная правая граница 0-интервала не выйдет за пределы правой границы спектра L, т.е. в качестве / следует взять наименьшее целое, при котором Iri > L, т.е.
і(0)=ТГ+1'
Теорема 2. Проделав г(0) итераций метода переменных направлений с указанным выше выбором параметров T1, т2, ..., Xj, получим оценку для погрешности
б* IlWiII ^ 0 IIw0II.
164
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[4-І
Для достижения нужной погрешности є мы имеем два пути: либо сразу назначить 0 = є, либо использовать найденную последовательность циклически и за к і (Q) итераций получить в оценке множитель в* « е. Выясним, что же выгоднее, т.е. оптимизируем процесс за счет рационального выбора 0. Задачу решаем, используя «среднюю эффективность» одной итерации, т.е. вводя характеристику
7(0) = -In 0^(6) = -±. In 0-1.
В этих терминах имеем оценку
Ikil < IIv0II е-‘^\
Конечно, это соотношение не следует понимать буквально, оно выполняется только после каждой серии из г'(0) итераций. Очевидно, 7(0) и есть та характеристика итерационного процесса, которую следует сделать максимальной.
Итак, для выбора 0 получаем задачу: найти
1п0_11п [П(0)/Л(0)] max 7(0) = max---------------------=
= i71Z77Imeax {1п 0_11п [П(в)/Л(в)]}.
Обратим внимание на то, что наилучшее значение 0 определяется независимо от границ спектра /, L, т.е. один раз для всех задач. Вычислив 0ОПТ, найдем универсальные характеристики:
rO = VnO- V0 = lneOllnrO1- I0=1ZlnrO-
В конкретной задаче, имея оценки границ спектра I, L, рассчитываем длину итерационного цикла і = i0 In (L/l) + 1, среднюю эффективность итерации 7 = 7(/1п (LU) и набор итерационных параметров T1 = A0//, T2=Tj/r0, T3 = Tг/г0, ... Для уменьшения нормы погрешности в є-1 раз в конкретной задаче потребуется
г'(є, UL) « 7”1 In (LU) In є-1, у0 гк 3.2,
итераций. Значение 0ОП1 находится по табл. 10, из которой видно, что ©опт ^ 0.160.2 (бблыпая точность, очевидно, здесь не нужна) и і0 = 5 ч- 4 соответственно. Значения П0, A0, г0 предоставим вычислить
читателю. Для задачи на сетке 100 х 100 (/ = я2, L = 4jV2) получаем убывание норм погрешности и невязки в процессе итераций со скоростью
. IkiII«Ik0Ik-0-38'', Ikii = Ik0Ik"0-38*.
§14] РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК 165
Таким образом, для того чтобы уменьшить погрешность начального приближения в IO5 раз, потребуется около 30 итераций метода переменных направлений. Важно отметить, что, хотя эти формулы
Таблица 10
0 0.01 0.04 0.09 0.125 0.160 0.200 0.250 0.360
г (в) 22 9 7 6 5 4 4 3
7(в) 0.21 0.35 0.36 0.375 0.384 0.382 0.375 0.340
нужно понимать «в среднем», в данном случае убывание норм погрешности и невязки происходит монотонно: IlV1+1H < IIv1II при любом порядке использования итерационных параметров. Проблемы устойчивости здесь, в отличие от метода чебышевского ускорения, не возникает.
Величины IIu0II и Hr0Il, фигурирующие в формулах, легко оцениваются при самом простом выборе начального приближения:
uI т = 0 внутри, U0k m = 4>kim на границе.
В этом случае
IIv0II * Hull, IIr0II « ll/ll + IMIM3'2
(где и — решение разностной задачи, ||<р|| « (ф <р2 ofs)1/2), и содержательный смысл достигнутой в расчете точности HvvII = ||mv — и || < $ IO-5IIv0II « 10_5||м|| очевиден. Если же в этом примере использовать оптимальные параметры Вашпресса, результат будет такой: за 16 итераций получается оценка ||и16|| =S 0.3- 10_6||v°||. В формуле эффективного убывания погрешности множитель 3.2 меняется на 9, т.е. оптимальный вариант примерно в 2.8 раза эффективнее упрощенного.
Обсудим вопрос о возможности применения метода переменных направлений в более общей ситуации. Проанализировав весь ход рассуждений, легко убедимся в том, что были использованы следующие факторы.
1. Уравнение Du = / имеет форму
D1M -I- D2U = /.
2. Уравнения «на верхнем слое» для схем суть
где м*, q известны; они легко (т.е. «экономно») разрешаются относительно м.
166
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. I
3. Операторы D1 самосопряженные с положительным (отрицательным) спектром. Для границ спектра есть достаточно эффективные оценки Ii, L1.
