Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Свойство диагонального преобладания настолько полезно, что его стараются обеспечить и при построении аппроксимации в более сложных ситуациях. He всегда оно получается автоматически, иногда нужно потрудиться над конструкцией схемы. Для эллиптического
148
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
уравнения ихх + иху + иуу = / можно предложить несколько схем, например:
(Аи)к,т +
"I" (ик+1, m + l Uk +1, m-1 uIc-1, m + 1 + ик-1, т-0 + f к, т•
На рис. 13а показан шаблон схемы, около узлов которого проставлены коэффициенты схемы (умноженные на А2). Ввдно, что диагонального преобладания нет.
Смешанную производную можно аппроксимировать иначе:
1 / ч
gxdy ~ 'Uk+1, m + 1 Uk, m+1 ^A+1, m ' к, т)'
Коэффициенты схемы показаны на рис. 136. Возможно, читателя смутит сокращение числа узлов в схеме, хотя диагональное преобладание здесь есть. Автора это обстоятельство тоже смущает, хотя ничего определенно компрометирующего эту схему мы сказать не
1 -1/4 1 1/4 і 1/2 1/2
1
-4
I 1
-4
I 1
-3
1/2
-3.
1/2
1 1/4 1-1/4 1 1/2 1/2
а б в
Рис. 13
можем. Попробуем аппроксимировать смешанную производную еще одним способом:
2^2 (Uk+1, m+1 uk, m+1 uk + \, m + ик, т) +
+ (Uk, т — Uk, m-I ~ Uk-1, т + ик-1, m-l)*
Шаблон схемы показан на рис. 13о.
Если бы смешанная производная входила в уравнение со знаком минус, следовало бы (для сохранения диагонального преобладания) ориентировать шаблон по другой диагонали. Что касается рассматриваемого уравнения, то это то же самое уравнение Пуассона, только в косоугольной системе координат. Для его решения, конечно, справедлив принцип максимума и теорема о среднем в соответствующей редакции. Надо, однако, предупредить, что отсутствие диагонального преобладания не является фатальным недостатком схемы, делающим ее непригодной для использования.
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
149
Перейдем к практическим проблемам: как найти решение системы линейных алгебраических уравнений очень высокого порядка и очень специальной структуры? Нас интересует не принципиальная возможность решить систему (это тривиально). Суть проблемы — в числе необходимых для решения операций. Предварительно отметим лишь, что из доказанных оценок (устойчивости) следует, что однородная система (/ = 0, <р з 0) имеет только тривиальное решение и = 0. Следовательно, разностное уравнение Пуассона однозначно разрешимо при любых правых частях.
Метод простой итерации. Основным средством решения больших систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при разностной аппроксимации краевых эллиптических задач, являются методы итераций (последовательных приближений). В этих методах, начиная с какой-то сеточной функции т (верхний индекс означает номер итерации), по тем или иным правилам находят и\, т’ uI, т’ ¦¦¦ Если при этом ик т~* ик т (і -* °°), то метод называ-ют сходящимся.
Однако в этих вопросах одного факта сходимости мало, нам нужна еще и оценка скорости сходимости. Обычно она имеет вид
I J (V к, т; q < I).
Числа q < 1 — свои для разных методов: чем меньше q, тем лучше метод, тем быстрее он сходится. Поскольку ик т совпадает с решением Uk m с точностью до E = 0{hP), то итерации следует проводить до тех пор, пока ик т не совпадет с ик т с той же точностью E = O(hP).
Дальнейшие итерации особого смысла не имеют. Поэтому обычно назначается некоторое г= O(Jip) и делается такое число і(є) итераций, которое обеспечивает оценку
\ик,т~ ml < Е’ Т.Є. (# = ?, Откуда І (в) = ljlJ--
Кроме числа итераций, мы должны учитывать и число операций, которых требует выполнение одной итерации. Обозначим еш через Т. Можно считать T временем выполнения одной итерации, так как в конечном счете нас интересует именно машинное время, необходимое для получения Е-решения. Очевидно,
150
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
(Если T — число операций, то мы получаем характеристику метода как такового. Если T — машинное время, то мы получаем характеристику, учитывающую быстродействие ЭВМ, приспособленность данного алгоритма к ее архитектуре и качество программирования.)
Метод простой итерации несложен. Опишем стандартную итерацию. Пусть г-е приближение [и[ т} известно (будем обозначать его
просто Ui). Тогда для внутренних и граничных узлов имеем соответственно
Число операций T = ICN2 (IC я» 10), так как число узлов (к, т) есть N2, а вычисление (Au' — /)к т требует около шести операций. (Считаем, что массив /к т хранится в памяти.) Разумеется, в памяти не хранятся массивы и' для каждого і. Как и при решении уравнения теплопроводности, заведомо достаточно двух массивов, а при незначительном усложнении программы и одного (плюс N буферных ячеек памяти). Особую роль играет т — итерационный параметр.
Анализ сходимости. Оценка скорости сходимости. Выбор оптимального значения х. Для анализа сходимости введем фундаментальные объекты — погрешность vk т и невязку г‘к т:
Равенство нулю невязки или погрешности означает, что найдено точное решение. Погрешность имеет очевидный смысл, HO, как правило, она нам неизвестна. Невязка удобна тем, что ее всегда можно вычислить. Поэтому обычно итерации обрывают, когда невязка достигает достаточно малой величины. В дальнейшем мы увидим, что между погрешностью и невязкой есть простая связь: IIvII ^ IjlIIrII- (Число и будет указано; нормы здесь и в дальнейшем гильбертовы.)
