Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Выведем формулу итераций погрешности. Из формулы итераций и тождества и = и + х (Au — f) имеем для внутренних и граничных узлов (к, т) соответственно
(к, т) внутри,
(к, т) на границе.
(Aui-Z)k m, (к, т) внутри, (Ui-^)k m, (к, т) на границе.
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
151
Вычитая, получаем уравнение эволюции погрешности:
(к, т) внутри,
(к, т) на границе.
Введем операторную запись. Определим оператор D, переводящий сеточную функцию в такую же функцию:
Тогда для сеточных функций v, равных нулю на границе, имеем
Tем самым проблема свелась к оценке нормы итерационного оператора E + xD, так как ||ui+1|| ^ \\Е + xZ>|J||г»41| и, следовательно,
IIv1II < Il ? + tD||‘ Il v° Il. Этой оценкой мы и займемся. Наиболее эффективным аппаратом подобных оценок является метод Фурье или, что то же самое, спектральный анализ оператора. Задача простая и известны аналитические выражения для собственных векторов и чисел.
JI е м м а 2. Сеточные функции <р? = sin (крл/N) суть собственные векторы разностного оператора д2/дх2, которым соответствуют собственные значения Xp = (4/А2) sin2 (рж/lN). Здесь р — номер собственной функции (р=1,2, ...,JV - 1), к — номер узла.
Доказательство состоит в простой проверке, которая опускается. Заметим только, что нам удобно ввести спектр формулой
Введем собственные векторы оператора д2/ду2: ^qm = sin (тдл/N) (q = I, 2, N — I). Очевидно, (O2IpqZdy2)m = -Xq Отметим, что на границах (т = к=* 0, т = к = N) эти функции обращаются в нуль, что нам и нужно.
Лемма 3. Собственными функциями оператора D являются функции zfy 9 = ip? ^pqm. Им соответствуют собственные значения \р- ч = XP + Xq.
Доказательство состоит в прямом вычислении (Dzp' q)k т. В дальнейшем особую роль будут играть границы спектров:
(Au)k,m> (fc> m) Внутри, ик, т> (?, т) на границе.
„і+і = (Е+ т D)vl.
О ^I’^XP^L’, р= 1, 2, ..., N- 1,
152
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
где
/' = X1 = A? sin2 -?т « л.2 (так как N^> 1),
h
L, = XN-l = 4 in2 <*-!)* ^ 4 sin2 я = 4 = 47Va
A2 2^v h2 2 h2
Очевидно, ДЛЯ 9 имеем
А/м.Є [/, L], где /? 2л2, L = SZh2 = SN2.'
Будем использовать следующие факты из теории дискретных рядов Фурье.
Всякая функция vk m, равная нулю на границе, имеет представление
m 2 ^p. <? 2C и"
Р. <?
При этом
1 42 г 1 1/2
NI= IKJ2 = 2(<w2 •
к, ш , J 1 р, 9 -1
Теперь все готово для анализа сходимости итераций.
Разлагая, в ряд Фурье начальную погрешность г>°, имеем
V1 = (Е + т?))г>° = (? + т?>)2 Cp (г« =
= 2 ср, №+t?>)zP’ q = 2cp,^l~x ХР’ 9)zP’ Обозначим g(x) = max 1I — тА.|. Тогда
Ik1II = (5) (cp,q)2(l ~ x ^p'4)2]1'2^ *(*)(2 (cp.«)2)1/2 = ?(t)IIv°H-
Точно так же:
ІИК Si(T)IIv0II.
Выберем итерационный параметр т так, чтобы сходимость была максимально быстрой. Получаем типичную задачу: найти
min { max 11 — тХ|}.
г
Начнем ее решение с внутренней операции:
max 11 — тA.I = max {|I — xl\, 11 — xZ,J}.
§ 14] РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК 153
Почти очевидно, что max (1 — хЯ | достигается на правой или левой границе интервала [/, Ь\. Таким образом, нужно найти
min {max {I I — xl\, |1 — т?,|}}.
X
Из простого анализа графиков функций |1 — xL\, 11 — т/1 и max {| I — xL\, [ I — х/1} видно (рис. 14), что оптимальное значение т0ПТ находится из соотношения
1 - Wl)* Т-Є- xOUT = 2^l+ О-
Оценим скорость сходимости:
і /і 2/ L-I ' 21
Som 1 *^опт I L +1 L + l L
(так как l«L). При I = 2л2, L =-8N2 получаем характеристику оптимальной сходимости метода простой итерации:
Sont=1 ~2(ji/N)2.
Для N = 100 показатель сходимости gonT = 0.9995. Полезна будет и формула для числа итераций, необходимых для уменьшения погрешности начального приближения в є-1 раз. При этом г (є) находится ИЗ соотношения I|v'|| я» E IIv0II, т.е.
__ In E __ In E L I 1
г(?) “ In gom - In а-21IL) ~ 21 ln E-
Число г] = LU — важная характеристика матрицы системы разностных уравнений (так называемое число обусловленности). Чем больше г], тем «хуже» матрица, тем труднее проводить вычисления. В данном случае обусловленность существенно повлияла на число итераций. В примере с
JV=IOO при е«10~5 число ите- 1 IjJ т т
раций порядка IO4. Учитывая,
что каждая итерация «стоит» по- Рис- 14
рядка 10JV2 операций, оцениваем
необходимое для решения задачи число операций в IO9; для БЭСМ-6 это около часа работы. Ясно, что с таким методом нельзя браться за серьёзную вычислительную работу. Большие усилия были затрачены на разработку методов ускорения итерационных процессов, на создание новых, существенно более эффективных. Наиболее быстрые современные методы решения разностного уравне-
154 ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ [Ч. I
ния Пуассона на сетке 100x100 требуют I-s-10 секунд работы БЭСМ-6. Ниже мы опишем некоторые из таких методов. Метод же простой итерации послужил нам удобным поводом ввести читателя в суть проблемы и определить основные объекты и термины.
Чебышевское ускорение простых итераций. В методе простой итерации мы получили такое выражение для погрешности:
