Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Далее, из Vi j < ||<р|| следует
IMI > Uitj + Wij = Uitj+ \ IIZII (X2 + у2)-\ WfWR2'
Отсюда Ui j H У <р|| + R2 HZII/4. Так как функция —ик т удовлетворяет тому же разностному уравнению Пуассона, но с изменением знаков f и <р, имеем второе неравенство: — ик т S ||<р|| + R2 ||Z||/4. Из двух полученных неравенств следует утверждение теоремы.
Таким образом, для всего семейства разностных задач Пуассона (с параметром h-*0) установлена равномерная оценка решения через нормы функций, входящих в «правую часть» уравнения. Как уже разъяснялось, для линейной задачи она означает
146
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. 1
непрерывную зависимость решения от правой части задачи, а отсюда (в силу теоремы Рябенького—Филиппова) следует сходимость разностного решения к точному с порядком, равным порядку аппроксимации.
Можно придать этому утверждению более определенную формулировку. Пусть Uhk т — решение разностной задачи на сетке с шагом h, UtI — ограничение точного решения на ту же сетку. Тогда
\\<т~ UlmW^ C1H +C2R2Vfn,
где C1 — оценка первой нормальной производной U(x, у) на границе, C2 — оценка четвертых производных U(x, у). Тем самым мы установили устойчивость и сходимость в метрике С. Хотя доказанная теорема имеет внешне вполне законченный характер, ее не следует переоценивать: она основана на слишком сильных априорных предположениях о гладкости решения U(x, у).
Дальнейшее развитие теории разностного уравнения Пуассона связано со стремлением существенно ослабить эти предположения, доведя их до «естественных». Например, если / только ограничена, U(x, у) имеет лишь две производные. Реальные задачи обычно связаны с функциями, существенно лучшими по гладкости, чем просто ограниченные. Так, часто / — кусочно-гладкая функция, имеющая небольшое число линий разрыва самой функции или ее производных. Это приводит к тому, что погрешность аппроксимации устроена «неравномерно»: она мала (порядка О (А2)) почти всюду в области. Только в окрестности линий нарушения гладкости U(x, у) она существенно больше и может достигать даже величины 0(1). Следовательно, невязка может оказаться малой лишь в какой-то интегральной норме, более слабой, чем норма в С.
Соответственно, нужны и более тонкие теоремы об устойчивости. Такие теоремы тем ценнее, чем более слабая норма используется для невязки и чем более ^ильная — для погрешности. Все это, конечно, выходит за рамки принятого в книге теоретического уровня. Однако надо понимать, что дело не только в качестве теорем, но и в существе самой проблемы. Более слабые требования к невязке приводят к более слабым утверждениям о погрешности численного решения потому, что ухудшение гладкости искомого решения ведет к росту погрешности. Бороться с этим можно, просто тупо увеличивая число узлов сетки. Ho иногда удаются более остроумные и квалифицированные-способы повышения точности расчета, не требующие существенного увеличения объема вычислений. Один из таких приемов — выделение особенности (регуляризация). Поясним идею на простой задаче.
В квадрате О < х, у < 1 решается задача Лапласа: Au = O, однако краевые условия и(х, у) = <р(х, у) на границе содержат разрыв. Для
РЕШЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СЕТОК
147
определенности, пусть ір(х,0)-+а при л:-*0, <р(0, у)-* b при у 0, а =*= Ь. Решение такой задачи существует, но около точки (О,
0) оно теряет гладкость (в точке (0, 0) нет непрерывных первых производных). Это обстоятельство приводит к снижению точности расчета в окрестности точки (0, 0). Правда, влияние такого локального нарушения гладкости носит локальный характер и погрешность расчета быстро убывает при удалении от точки (0, 0).
Метод регуляризации состоит в следующем. Решение ищется в форме и(х, у) = v(x, у) -I- и>(;с, у), где v(x, у) — некоторая известная гармоническая функция, имеющая в граничных условиях тот же разрыв, который имеет заданная граничная функция <р, а в остальном — гладкая. Второе слагаемое w(x, у) подлежит расчету. Для w ставится, очевидно, следующая краевая задача:
Aw = O внутри, w(x, у) = ip(x, у) — v(x, у) на границе.
Граничные значения функции w непрерывны, и при ее расчете методом сеток не происходит потери точности.
Для реализации такого выделения особенности нужно иметь функцию v(x, у). В данном случае такая гармоническая функция известна. В теории функций комплексного переменного устанавливается, что, например, arg (х + і у) = arctg (у/х) является гармонической функцией в положительном квадранте и она имеет разрыв в краевых условиях именно в той точке, где нам нужно:
arctg j-*0 при у = 0, я-*0, arctg ^ = ^ при х = 0, у-*0.
Следовательно, в качестве v можно взять гармоническую функцию
v(x, у) = а + 2 arctg
Диагональное преобладание. Устойчивость системы разностных уравнений удалось установить благодаря важному их свойству, называемому «диагональным преобладанием». В разностном уравнении (Au)jfc m = Zit m «вес» центрального члена (коэффициент при
ик т, равный —4/А2) по модулю не меньше суммы модулей остальных «весов». Это есть следствие как математической структуры оператора Лапласа Д (значение гармонической функции в какой-то точке равно среднему значению этой же функции по окружности с центром в рассматриваемой точке), так и использованной нами простейшей его аппроксимации.
