Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи к главе 10
1. Найти приближенное решение уравнения Az = — 1 внутри квадрата — а^х*Са, —а < j < а. обращающееся в нуль на границе этого квадрата.
Указание. Задача сводится « исследованию us экстремум функционала
задачи к главе 10
413
Указание. Решение можно искать в виде
у = <х(х — 1)(х —2).
5. Найти методом Ритца приближенное решение задачи о минимуме
и сравнить с точным решением. Указание. См. задачу 3.
6. Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального уравнения у" -\- х2у = х; у (0) = у (1) = 0. Определить ys (х) и у3 (х) и сравнить их значения в і очках х = 0,25, х = 0,5 и х = 0,75.
функционала
2
» [У <*)] - (У'" 4- У2 + 2ху) rfx; у (0) = у (2) = 0.
о
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
К главе 1
1. sin у cos X = с. 2. 6х2 -\- 5ху -\- у2 — 9х — Зу = с. 3. х2 — Icy = с2.
4. у = — + —• 5. + — = с. 6. X = се"3' 4- 4 е2'. 7. у = с cos х -+- sin х.
' х 1 4 2 X '5
8. еж — еу = с 9.x = се' — -^- (cos / 4- sin г). 10. Однородное уравнение:
X
x = yecy+l. П.у = сх и у2 —X2 = с. 12. у2 = 75-4-^2- 13. 1п|*| = с —*
(ОХ -)- С)
( X = sin
14. Можно ввести параметр, полагая у' = cos f ' t , sin 2i
j J х = р»-/» + 2,
15. у = сх 4—; особое решение у2 = 4х. 16. < 3 р2 , 17. Урав-
1 4 з
dx , у3 10 I х = т р3— —р<-}-с,
нение линейно относительно x и з—, x = су 4- TT- 18. < J і
dy ' ~ 2 !
19. Гиперболы X2 — у2 = с. 20. Дифференциальное уравнение искомых кривых -^- = у'. Оте. у2 = 2сх. 21. Дифференциальное уравнение искомых кривых у — ху' = х. Оте. у = сх — X In I X 1. 22. X2 4- У2 — 2су = 0. Особенно просто задача решается в полярных координатах. 23. Дифференциальное
уравнение задачи —^- = k (T — 20). Отв. Через 1 час. 24. Дифференциаль-dv
ное уравнение задачи —-^ = kv, где v — скороеть. Отв. v я 0,466 км/час.
25. Если поместить начало координат в заданную точку и направить ось абсцисс параллельно данному в условиях задачи направлению, то дифференциальное уравнение кривых, вращением которых образуется искомая поверхность, имеет вид у' = —Х ± ^"х У (или dx — dp = 0, где р = Yx2 4- у2).
Отв. Осевое сечение искомой поверхности определяется уравнением у2=2сх4-с2, поверхность является параболоидом вращения. 26. у = 2 sin (х—с).
27. Дифференциальное уравнение искомых' кривых у' = — —. Отв. Гипербо-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 415
^ у = 2рх—р2.
36. (л-4-у 4-1)3= се2х+у. З7.у = с; у = ех 4-с; у = — в^4с. 38. у2 =2с*4-с2.
oa 14 4« ^2—! X2 — 1 . 2 1 . x3 x5
39. Не имеет. 40. у,=-§-; у2 =—§--j_ 4-
41. у = 2.*2-—л:. 42. Не имеет. 43. х = сеу. 44. х24--^- = с2. 45. х = 2t.
х2
46. л: = /2. 47. у = —X 4-1 и у =---. 48. Действительного решения не
существует. 49. Зх—4у + 1 = сех~у. 50. х = (4*4- с) sin t. 51. у = сх-]---^—
7 X3 а
и особое решение у = — X2. 52. у = -j—:—, у = 0. 53. л: — с = -?г-(2?—sin 2<),
у = -^-(1—cos 2t) — семейство циклоид. Особое решение у = а. Указание: удобно ввести параметр t, полагая у' = ctg I. 54. 3 (х2 A-у) Ar ху3 = сх.
X
55. и = -^- _| х)3 . 56. х=с<?у. 57. х24-2ху —у2—6х —2у = с.
58. У = -г-і-П-і- и у = 0. 59. (л-2 — 1) у — sin х = с. 60. 8у4~4х4-5 =
I -j- CX -J- J П X
= се4х-8У-4 61. у34-х3-3ху = с. 62. y = cU24-V2)- 63. у3=х+^-.
, ' (хА-а)2 2 с
64. у = с (х 4- а) 4" с2 и особое решение у ~---—^ 65. х = -д- '-f"^ •
3 с
у = 2x? — ^2 и у = 0, у = -j X2. 66. у = ¦
К главе 2
l.y= 5е3х sin л: 4-10. 2. л: = c1 cos / 4- C2 sin / 4" у cos 2*
1 „. < cos ?
cos2 л:
3. (у — C3)2 = C1X 4-C2- 4. у = C1 cos л:4-C2 sinx-j—^——-^—.
5. у = C1X2 4- C2x3 4-у- 6. у = C1 sin x 4- C2 cos x 4- ~ ch х. 7. у = с Са + 1-
jeвв2'(с,+ Сз*)+ IL.4-е«4-1. 9. у = _ Jl+uiiini i4-cixi4-c2.
2 4 C1 Cf
x2 1
10. c1x2^-I=cj (t-\-c2y. \\.у = с1еіхАгс2е~гхАгсг cos 2x4-c4 sin 2x—-tg+t-g **•
x4
12. у = cos (x — c,-)4-c2x4-c8. 13. у = cxex'+c2e~x'+c3x34-c4x24-c5x4-c6 —
/ 4xa
14. x«=«' (c1 4- V)+ «-'(?8+ V) + 1 + Л »5. у — «b (1 — •573 +
лы ху = с. 28. (дг-f у 4-1)3 = C(jc-V + 3). 29. у = _1^±^_. 30.у (0.5) »
«0,13. 31. у (0,6) « 0,07. 32. у (0,02) и 1,984; у (0,04) и 1,970; у (0,06) я 1,955; у (0,08) и 1,942; у (0,10)« 1,930; у (0,12) » 1,917; у (0,14) я 1,907; у (0,16) я 1,896 у (0,18) » 1,886; у (0,20) я 1,877; у (0,22)« 1,869; у (0,24) я 1,861; у (0,26) я 1,854;
іX = -4-?^ _
у (0,28) я 1,849; у (0,30) я 1,841. 33.1 />2_Г 3 ' и у = 0. 34. x4-ctg ~I = с.
416 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
42X6 . (—1)*4*х3* . \ . / 4л-'
2-3-5-6 "' ~1 2-3-5-6 ... (3ft —1) ЗА -r---) + ci\x -3Т4 +
, #х> і (-l)'4?t+l \
"^3-4-6-7 "' "г" 3 • 4 • 6 • 7 ...3*-(3ft + l) ¦¦¦)' ь- у~
= Cxj ^ (Зх) + C2j j (Зх). 17. у = х. 18. у = (-^-х+lj\ 19. у = с, cos л +