Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
5.г==5+^i|p. 6. « = Ф(х-у, у-г). 7.И = х<ф(-?, *). 8.Z =
х-2
= хФ, (у) 4-Ф2 (у). 9. Z = (X2 + у — I)2. 10. z = ye у 11. z = 3x12. Z = в [У~ ,3- Ф(^+х2, X2 — у2) = 0. 14. Ф(г2 —х2, х2 — у2) = 0.
+ C2*?-2'; У = 0^' + с3е~'21: г = с,е'— (C2-I-C3) <?"- 10. х = с,/ 4- Ц-\ j=—C1^ 4- -у. П. х = Ci cos / + C2 sin /— t cos / + sin t In I sin 11; у опре-
деляется из уравнения jy = -^--1. 12. х2 — у2 = с,, у —л: — ґ = с2.
13. x = c1#' + c2e~' + sinZ; у = — с,е' + с2<?"~'. 14. х = е'\ у = 4е'.
15. 0(1) « 0,047. 16. X = eat (C1 cos і? + C2 sin /) у = eat (с, sin / — C2 cos f> 17. x= 2Ci<r' + c2<r7', у = — с,<г' + c2e'7t. 18. X= <re-' (2c, cos t 4-
+ 2c2 sin t), у = е~ы [(C1 — C2) cos / 4- (Ci 4- C2) sin /]. 19. x = c,<?' 4- c2. у = = (с,/ + с3)е' —/—1 — c2, 2 = y — c,e'. 20. X+у+ г= Сі, хуг = C2.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 4]9
у і і ~ 6 2
К главе 7
1. у = — X при 0<х< 1; у = х — 2 при 1 <х<4иу=х при 0< х<3> у = — X 4- 6 при 3 < X < 4. На той и другой ломаной функционал достигает абсолютного минимума. 2. Не существует. 3. Ломаные, проходящие через заданные граничные точки, составленные из прямолинейных отрезков с угловыми коэффициентами \Гз и — У~3. 4. , = L т- е. экстремали должны пересекать кривую yi = »P(X1), по которой скользит граничная точка, под углом j. 5. у= -j^ + -^-(X2 — X3). 6. у = ±^х при 0<x<-g-;
у = ±f9 — (х — 5)2 при -j- <*<тр: У = T-J (х - 10) при -j- <х< 10,
15. Не интегрируется. 16. 2ху + у2 + бхг2 =- с. 17. г = ах3 + -4- U (возможны и другие ответы). 18. г = ах+by + аЧ3 (возможны и другие от-
— (а'х+у)
веты). 19. г = йеа (возможны и другие ответы). 20.2 = х sin a + ay + b
(возможны и другие ответы). 21.х2у — Зхуг = с. 22. Такого семейства поверхностей нет. так как условие (F • rot F) = 0 не выполнено. 23. Уравнение
у
векторных линий — = с, хг = C2 Уравнение векторных поверхностей
г =-^-Ф . Уравнение поверхностей, ортогональных к векторным линиям X2 + У2 — z2 = с. 24. г = ху -f I. 25. г = Зху. 26. г = х2 у2.
К главе 6
1. Экстремалями являются окружности (х—C1)2 + yL = C\. 2. Интеграл
не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача лишена смысла.
3. В классе непрерывных функций экстремум не достигается. 4. Экстремалями
C1 ' X2 являются гиперболы у= —+C2. 5. y=CjSin(4x— C2). 6. у =--+
+C1X-T-C2. 7. у = sh (C1X+C2). 8. у = C^* + C2*?--1 + у sin х. 9. у =
= С,е2Х + С2е-2Л + C3 cos 2х + C4 sin 2х 10. у = ^ + С,х5 + C2X4 + C3X3 +
+ C4X2 + C5X +C6. 11. у =¦ (CjX + C2) cos X -f (C3X + C4) sin х, г = 2у -f у", от-
.„ O2Z д2г _ ,„ o2u , O2M , O2« куда z легко определяется. 12.^ — ^ = 0. 13. —+—+_=
= / (х, у, г). 14. у = С,х" + C2. 15. y = j хех + С,ех + С,е~х. 16. у=
_ _ •* c°s •* -|_ C1 cos X 4- C2 sin х. 17. у = C1 ch X + C2 sh X -f- X sh X —
С 1
— ch-xinchx. 18. у = C1X + —-f-g xin I X |. 19. у = (Ci + C2X) cos х-j-4- (C3 4- C4X) sin X - *2 S^n Х . 20. y = C,^ + C2e-' + ^(c3cos-^x + 4- C4 sin О х) + в~1 f C6 cos О X + C6 sin О х) + дг».
420 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ K ЗАДАЧАМ
т. е. кривая состоит из отрезка прямой, касающейся окружности, дуги окружности и снова отрезка касательной к окружности. 7. у = 0. 8. Дуги окружности у = ± У~8х — X2 .
К главе 8
Xі
1. При у = —-j- 4-1 достигается сильный минимум. 2. При у =0 дости-
гается сильный минимум, если 0 < а < -j-, если же а > -^-, то минимума нет.
4
3. Экстремум на непрерывных кривых не достигается. 4. При у = 7 —— —
сильный минимум. 5. При у = 1 — сильный минимум. 6. При у = sin 2л: — 1 достигается сильный максимум. 7. При у = Xs достигается сильный минимум.
8. При у = J- е2Х достигается сильный минимум. 9. При у = sin Ix дости-
о
гается сильный максимум 10. На прямой у = — х достигается слабый мини-мум. 11. Напрямом у = —х достигается слабый минимум. 12. При у = Xі
X1
достигается слабый минимум. 13. При у = х3 — 1 достигается сильный
.. п . eh лс . максимум, 14. При у = ^Tj"~f-х достигается сильный минимум.
К главе 9
1. у = ± 2 sin пях, где п — целое число. 2. ф = C1 4- С2г; г = R. 3. у = = Xx2 -|- C1X -f- C2. где C1, C2 и X определяются из граничных условий и из
изопериметрического условия. 4. (р (х) у') 4- [Xr (х) — q (х)\ у = 0;
у (0) = 0; у (X1) = 0. Тривиальное решение у = 0 не удовлетворяет изопери-метрическому условию, а нетривиальные решения, как известно, существуют лишь при некоторых значениях Я, называемых собственными значениями. Следовательно, X должно быть собственным значением. Одна произвольная постоянная общего решения уравнения Эйлера определяется из условия
5 7
у (0) = 0, другая — из изопериметрического условия. 5. у = — х2 -\—^х; г = х.
К главе 10
5 4
1. гх = (х2 — а2) (у2 — ft2). Если необходима большая точность, то
решение можно искать в виде Z2 = (х2 — а2) (у2 — b2) [а0 -f- а1 (х2 -\- у2)]. 2. у, = (х— I)2 (0,124-f 0,218л:). 3. Точное решение у = ^~- — х. 4. Решение уравнения Эйлера у = 3,60727, (х) 4~ 0,75195K1 (х) — х, где У, и K1-
