Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
4-й2 sin х-(-1 + X cos X — sin X In I sin X 1, 20.u = ~-\-c2. 21. Дифферен-
rfV & dv k
циальное уравнение задачи -^r =-рї или w ~ ~ГТ- где r — расстояние
от центра Земли до тела, v — скорость, k = —64002g\ Отв. v а 11 см Iсек.
d2x I dx \2
22. Дифференциальное уравнение движения ~?р~~ — §' 4~' 752 g
Отв. X =-Inch—¦t. 23. Дифференциальное уравнение движения
S _
^L = k(s+\) или Ц- = A.(s+ 1). Ош. <=|А |іп(б + К35).
Ag
24. / = -Lin (9+^80). 25. S=-^^./—^^?-(1-в" " ').
YS _Ь Pg
26. x=^4cosj/"-?<. 27. X = a cos |/^-|-28. Дифференциальное уравие-
.. . . L^y
ние движения х + kxx— A2X = 0, k2 > 0. Отв. х = схе v 4-
30. у2 =
(.^y 4«.).. »,-„2??^.
с, (х2 + X Yl 4-х2 + In I X -f КГ+х21)4- с2. 31. у = с2<?с'х4- C1, у <
C — д:
32. X= C1 cosЗ/4-C2 sin3t — —\-t2 cos 3t+ ~ sin3*. 33. у = е-* (с, + с2х —
12 ^ 36
-712)+^-34^=^ + * 2 (? cos X-f-C3 sin ^x) 4-І л-^.
35. у = е* (C1 cos X + C2 sin X) 4- *** C4°S * + X*e**[n x , 36. у = c, (x-x3) +
+ C2[^4 —6x24-3(x3-x)lnj^±l J - I. 37. иг= C1 In(x2 + y2) + c2.
38. и = C' 4" c2- 39. Дифференциальное уравнение движе-
]/ X2 4- у2 + г2
ния m'x=mg — kx. Отв. х = 1 — -^|^ (l — е т ). 40. а) f — ^0 =
А й2
ответы И указания k задачам 417
я, і'V dv _ Г dv
V,
f (х) dx
Xq
где « = х 41. у = с, -f с2х + C3X2 + ех (с4 + с5х 4- с6х2) — 4*--~.
42. X = (C1 4* C2/) cos t 4~ (C3 4" C4/) sin t — ~-/2 cos і 43. у = с, cos In(I + х) 4-
4-с2 sinln(14-x)4-ln(14-x) sin In(14-х). 44.x=
(2—л2) sin nt—2n cos л/
45. x = ^ 4- S
a0 2a,
n = l
[(2 — я2)2 4- 4л2] я4
я = 1
.An?~a2)an-a1n\ln ^ ^ + а^ад-(я2-а2) ? s|n
(л2 — a2)2 4- а2я2 " (vz2 — a2f 4- <г2и2
COS t
где o0, a„, ?„ — коэффициенты Фурье функции f (t). 46. х = 4.
_ j_
4- -і- (1 4- 3 cos 2/). 47. у = с,х 4- с2хе *. 48. х2у" + ху' — у = 0.
V! Vl
~Ь~'І V 2 V 2 \ ~Т~'І V 2 V~2 \
49. х = е Ic1 cos t+c2 sin '-^- tj-j-e (c3 cos ^-/4-C4 sin t j4-/3.
50. x = P + t+ 1, у = |-'6+TfJ*45 + 4" ^44-(c. +j) f + c,* + ^ 51. X= = (c, 4-^)g"5<+(5+2|n2)2 +-^V~- 5^- У — c2eClX\ 53. y = c1^4-c2e-4-
X _ _ X _ _
4-е2 ^c3 cos X 4- C4 sin ¦—^- xj 4- e 2 ^c5 cos -^—x 4- C6 sin -y-3xj 4/-
4--33-- 54' y=^0'-* + ^) cos •«4-(^4- C4) sin X4-C5 4-c6x 4--g- 4- -jrt
55. у = (CiX 4- C2)8 4- C3X 4-^4- 56. у = e1+c>x( —---у Wc2. 57. y=c, cosx 4.-
\c, C1 /
sin2x sin4x _0 1 _n c, , 1
+ C2 sln X--g---gg-. 58. у = --^32- 59.Jf = C^ + -.
К главе З
1. X = sin/, у = cos/. 2. x,=2e', x2 = 2e'. 3. x = C1^"1 + ' 4.
(-1 -у15) 1,2,.1,»
4-c2e 'TT^ *~§e ' У нах°Дим из первого уравнения: у = е' —-
і_
j- 5х. 4. х = с,е'4-е 2 Ic2 cos -*4р./ 4- C3 sin -*4р у и 2 опре-
= с,йСгі: V = c.r.pCrf
dx с„ , „_ „ „, , „-T '/„ КЗ , , . К3
dx rf2x
деляются из уравнений: у = -^-., г= . 5. х = с,еС2г; у = с,с2еС2 . 6. X = с, cos / 4- с2 sin t 4- 3; _у = — с, sin / 4- C2 cos /. 7. у = с,У0 (х) 4- C2K0 (х); г = л [C1J0(X)4- C2 K0(X)]. 8. X4-у 4-Z = C1, х2 + у2 + z2 = с\. 9. х=с/4<
с V
dx С V dv Г dv
418 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
c,e' + c2<? ' сУ + Зс20_<
21. Xі + у2 + zJ = cf, хуг = с2. 22. X=
К главе 4
1. Точка покоя асимптотически устойчива. 2. Точка покоя неустойчива.
„ г, 1 ' - 1
3. При а < —j точка покоя асимптотически устойчива, при а = — ¦^- устойчива, при а > —j неустойчива. 4. При а <; 0 точка покоя асимптотически
устойчива, при а > 0 неустойчива. 5. При 1 < / < 2 x(t, \х) -> J^4 — t2; при 2 < / < З X (г, |х) -> — УQ — t2; при / > 3 х (/, |х) -> со. 6. х (/, Ji) -> со. 7. Точка покоя неустойчива. 8. Точка покоя устойчива. 9. Точка покоя неустойчива. 10. Точка покоя устойчива. 11. Седло. 12. Периодическое решение х = 12
= -=-sin/--=- cos t асимптотически устойчиво. 13. Все решения, в том числе
О о
и периодические, асимптотически устойчивы. 14. Точка покоя неустойчива. Функция V= Xі—-у4 удовлетворяет условиям теоремы Четаева. 15. Все решения неустойчивы. 16. Решение х = 0 неустойчиво. 17. При 1 < а < 2 решение х = 0 асимптотически устойчиво.- При а = 1 и при а = 2 решение х = 0 устойчиво. При а>2 и при а< 1 решение х==0 неустойчиво. 18. Решение X = 0, у== 0 устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Функция 1> = 4хг+3у2 удовлетворяет условиям теоремы Малкина. 19.. Решение X (t)==0 неустойчиво. 20. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет. 21. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости
„ п cos / — sin t „ „„
нет. 22. Периодическое решение х =-^- неустойчиво 23. Область
устойчивости 0<а<.1, область асимптотической устойчивости 0 < а < 1. 24. Область устойчивости а>-5. область асимптотической устойчивости а > 5-
К главе 5
- [ -)
1. г = Ф (х + у). 2. г = е2ХФ (х — у). 3, г = ехФ (х). 4. Ф \г, ye zj = 0.
