Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если для некоторого значения со, обозначенного со0, эти функции, т. е. 1/Д(ісо) и F(ico), имеют одинаковые фазы, т. е. одинаковые отношения
действительных и мнимых частей, то существует значение P0, при котором G (і со0) = 0, что соответствует неустойчивости.
Из рис. 9.11, например, видно изменение фазового угла 0 с'частотой для I/R (ico) и для гипотетической функции обратных связей F (ico). Для достаточно большой мощности P0 неустойчивость наступает при частоте со0, где пересекаются две кривые. Эта точка определяет резонансную частоту системы. Так как в этом случае функция G (ico) равна нулю, то передаточная функция Я (ico) очень велика. Как установлено выше, возмущение реактивности с частотой со0 будет приводить при данной мощности к колебаниям мощности с большой амплитудой. При еще более высокой мощности эти колебания согласно линейной теории могут неограниченно возрастать.
Так как I/R (ico) является функцией, которая в соответствии с уравнениями (9.43) зависит только от времени жизни мгновенных нейтронов и характеристик предшественников запаздывающих нейтронов j5;-, lKj-, то зависимость
Рис. 9.11. Появление неустойчивости.
396
ее фазы от со легко определить. Из уравнения (9.64) следует, что
ЯеГ-----!----I = Y
[ R(ісо) J
„Г—!—
L /? (Ї со) J ^ со2+ M
1 *
сог+Х* со pj Xj
Эти функции изображены на рис. 9.12 при различных со для A = 10”*, IO"*4
и IO-5 сек. Использованные величины P7- и Xi соответствуют урану-235, но результаты остаются качественно теми же и для других делящихся материалов.
Для представленных кривых удобно выделить две области: область, находящуюся слева (для малых значений со), где нет зависимости от времени жизни мгновенных нейтронов и все определяется характеристиками запаздываю-
0 0,005 0,010 0,015 Г 1 1
U(Icv)J
Рис. 9.12. Связь действительной и мнимой частей функции l/RCiw) для систем с ураном-235.
щих нейтронов, и область справа (для больших значений со), где есть зависимость от Л и, следовательно, ход процессов зависит от мгновенных нейтронов. Частоты Co1, которые разделяют эти области для каждой кривой, очень приближенно соответствуют условиям (дІт/дсо)Щі = 0. Для урана-235
Co1« j f 2) Р; Xj/А « 0,05 /]/" Л .
Из рис. 9.12 видно, что функция l/#(ico) лежит в верхнем правом квадранте комплексной плоскости, т. е. там, где как действительная, так и мнимая часть положительна для всех со > 0. Из уравнения (9.64) следует, что неустойчивость возможна в случае, если функция Z7(Ico) лежит в том же квадранте. Отсюда необходимыми условиями неустойчивости являются
Re [F(i со)] > 0 и Im [Zr (Ї со)] > 0.
Следует помнить, что эти условия получены для линеаризованной модели в предположении, что корни функции G (s) находятся в левой полуплоскости и сдвигаются вправо при достаточно больших значениях P0, как указывалось выше. Ниже показано, что последнее допущение удовлетворяется для многих простых механизмов обратных связей, но не обязательно справедливо для всех видов обратных связей.
39 7
Значит, согласно линеаризованной модели, критерий достаточности устойчивости системы — это отсутствие такого значения со, для которого оба значения Re [Z7(Ico)] и Im [/7(ico)l одновременно строго положительны, т. е. действительная и мнимая части функции Z7 (ico) положительны. В разд. 9.4.9 аналогичные критерии устойчивости введены в том случае, когда уравнения кинетики реактора нелинеаризованы.
Отметим, между прочим, что для простых моделей обратных связей корни характеристического уравнения G(s) = 0 можно изучить точно [37]. Во многих моделях они находятся как корни полинома и, следовательно, непрерывно зависят от P0. Поэтому для этих моделей выведенные выше критерии неустойчивости, основанные на анализе функции G (ico), можно строго подтвердить. Одна из таких моделей рассмотрена в разд. 9.4.6.
Было показано, что резонансная частота (или частоты) системы зависит от фазы функции обратных связей F (\со). В свою очередь, на фазу оказывают воздействие временные константы, играющие важную роль в физическом меха-низмеобратных связей, например, время переноса тепла от топлива к теплоносителю, время прохождения теплоносителя через активную зону реактора и т. д. Отсюда следует, что резонансные частоты будут по порядку величин определяться обратными значениями основных временных постоянных. Некоторые примеры приведены в следующем разделе.
9.4.6. ПРОСТЫЕ МОДЕЛИ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Рассмотрим простую модель, представленную уравнениями (9.52) и (9.53), в которой температура топлива мгновенно возрастает и затем замедлитель (или другая компонента реактора) нагревается от топлива. Проводя преобразование Лапласа уравнения (9.58), находим, что
F(s)= _)----------------------- , (9.65)
I +s/co, (I + s/cof) (I + s/(dM)
где Ff (0) = arF!coF; Fm (0) = abrM Zco^coyw ;
Fm (0) + Ff (0) = F{0).
Для устойчивого поведения реактора, работающего на постоянной мощности, требуется выполнение неравенства F (0) < 0. Ho если это условие первоначально достигается за счет большой отрицательной величины Fm(O)7 т. е. большой обратной связи с запаздыванием, все же существует возможность появления неустойчивости. Причина заключается в том, что за время, требуемое для того, чтобы обратная связь проявилась, вводимое возмущение реактивности может изменить знак. Следовательно, может случиться, что реактивность обратной связи окажется в фазе с вводимой реактивностью, усиливая таким образом возмущение.
