Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
0 <s> “ TTT-pOF <s>:= AS+ У -?- ¦-P. P W = 0- (9-63)
R(s) s + Xj
Если величина P0 мала, то корни функции G (s) очень близки к корням 1/R (s); они имеют место при S = Oh при шести (/ = 1, 2, ..., 6) отрицательных значениях s. Это можно видеть, начертив G (s) для P0, т. е. I IR (s) в зависимости ots для действительных значений s, как показано на рис. 9.7.
Для небольших, но уже отличных от нуля значений P0 корень при S = O будет перемещаться влево или вправо в зависимости от того, меньше или больше нуля стационарный мощностной коэффициент F(O). В первом случае система будет устойчива в соответствии с уравнением (9.62), а в последнем случае — неустойчива.
Ситуацию при больших значениях P0 можно понять, рассматривая поведение корней характеристического уравнения (9.63), т. е. G (s) = 0. Эти корни являются полюсами H (s). Иллюстрацией служит частный случай, в котором система устойчива при малых P0, но при большей мощности наблюдается неустойчивость. Некоторые простые примеры даны в разд. 9.4.6. При нулевой мощности корни совпадают с корнями I/Rs = 0 и на рис. 9.8 обозначены ^1, <^2. &г и т- Д- Если стационарный мощностной коэффициент F (0) отрицателен, ТО при более ВЫСОКИХ МОЩНОСТЯХ корень C^1 будет иметь более отрицательную
394
действительную часть и двигаться влево, тогда как некоторые из остальных могут двигаться вправо. В то же время из-за присутствия функции F (s) в уравнении (9.63) некоторые из решений будут образовывать сопряженные пары при условии, что значения G(s) действительны для действительных S. Корни уравнения (9.63) для умеренных значений мощности указаны крестиками на рис. 9.9.
Когда мощность еще более возрастает, то корни Zf1 и Zf2 приближаются для этого случая друг к другу и затем образуют сопряженную пару. С возрастанием P0 точки сдвигаются вправо, т.е. Re (^1) и Re (Zf*) становятся менее от-
P и с. 9.8. Корни характеристического уравнения (9.63) при нулевой мощности
Рис. 9.9. Поведение корней характеристического уравнения (9.63) при отличной от нуля мощности.
рицательными (меньшими по абсолютной величине), и отдаляются друг от друга, т. е. значение I Im (^i)! возрастает. Эта ситуация изображена на рис. 9.10. При достаточно большой мощности корни пересекут мнимую ось и попадут в правую полуплоскость; как показано ранее, система тогда станет неустойчивой. Таким образом, реактор с отрицательным стационарным мощностным коэффициентом, устойчивый при низкой мощности, может стать неустойчивым при достаточно высокой мощности.
Специальный пример влияния возрастания мощности на устойчивость приведен в разд. 9.5.5.
Когда корни Zf1 и Zf* характеристического уравнения для достаточно больших значений P0 близки к мнимой оси, т. е. когда значение Re(^1) мало и отрицательно, реактор будет иметь тенденцию к осцилляциям мощности с частотой Im (Zf). Причина этого явления состоит в том, что осциллядии с такой частотой плохо затухают' и, следовательно, легко возбуждаются. К тому же ниже будет показано, что мощность может сильно реагировать на введение осцилляции реактивности с частотой, близкой к Im (Zf). Математически это объясняется тем, что передаточная функция для мнимых величин Zf будет иметь пик или резонанс при частоте CO0, приближенно равной | Im (Zfi) |, когда Re (^1) « 0. Появление резонансов в передаточных функциях для реальных реакторов описано в разд. 9.5.5.
Предположим, что при некоторой мощности характеристическое уравнение имеет пару корней: Zf1 и комплексно сопряженный ему корень Zf*, расположенные оба вблизи мнимой оси, т. е.
Zf і = —є + ісо0,
где 8 — малая величина. Тогда для значений s, близких к Zf1 или Zfu выражение для H (s) может быть представлено (приближенно) в виде
H0 H0
Рис. 9.10. Влияние увеличения МОЩНОСТИ на корни уравнения (9.63).
(s—SP i)(s—^7!) (s + e)3 + co§
395
где H0 — постоянная величина. Процедура определения поведения системы при синусоидальном возмущении 6pcos(co0/)c частотой со0, характеризующей резонанс, остается той же, как описано в разд. 9.3.2, за исключением того, что величина P0R (s) теперь заменяется H (s) [ср. уравнения (9.59) и (9.42)]. В результате
6Р ^ ~е7ніГо '^T6p [Н (it0o)eXp(iCD0/) + tf( — і CO0) ехр ( — ІС00/)].
При 8/со0 <g; 1, tf (± ico0) = ± #0/(2ico0e) и, следовательно,
бP(t)----------* sin CO0/.
t велико 2 CO0 є
Это выражение показывает, что при резонансной частоте возмущения для малых є амплитуда колебаний мощности будет велика. Кроме того, изменение мощности отстает на 90° от введенного возмущения реактивности.
9.4.5. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЧАСТОТА ВОЗМУЩЕНИЯ РЕАКТИВНОСТИ
Проблемы устойчивости и неустойчивости можно рассматривать еще и с другой точки зрения. Так как система становится неустойчивой, когда характеристическое уравнение (9.63) имеет чисто мнимый корень s, удобно положить s = і со. Тогда уравнение для неустойчивой системы имеет вид
G(i®)=^-P.f(i») = i»A+y-r&?r-------------= (9.64)
R(IGt) і со + «.у
где I IR (ico) и F (ico) — комплексные функции частоты возмущения реактивности to.
