Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим для простоты, что Ff = 0, т. е. не существует обратной связи по топливу. Тогда из уравнения (9.65) следует
^(іш) - ^(°)[1~ (966>
(1 +со2/со?) (1 +С03/С0^)
Так как заранее предполагается, что Fm(O) < 0, мнимая часть F (ісо) остается положительной для всех значений со > 0. Однако действительная часть будет принимать отрицательные значения при малых со, пройдет через нуль при со = V со,сом и окажется положительной при больших частотах. Следовательно, так как оба значения Re [Z7(Ico)] и Im [Z7(Ico)] могут быть положительными, неустойчивость может иметь место и для отрицательных значений Z7Ai(O). На практике уровень мощности, где предсказывается неустойчивость, может оказаться столь высоким, что уже не представляет интереса.
398
Общий характер зависимости Im IF (ісо)] от Re IF (ісо)] при увеличении ю показан на рис. 9.13; кривая а относится к рассматриваемому случаю, в котором нет обратной связи по топливу. Действительная часть функции F (ісо) начинается слева, т. е. является отрицательной, и становится положительной при
<о> Y®f®m- Так как мнимая часть функции F (і со) всегда положительна, то в этих условиях неустойчивость может иметь место.
При достаточно большой отрицательной обратной связи по топливу соотношение между действительной и мнимой частями Z7(Ud) с возрастанием со описывается кривой Ь. При этом система всегда остается устойчивой к малым возмущениям реактивности.
Предположим, что значение Z7(O) отрицательно, поэтому реактор устойчив при низкой мощности, но коэффициент обратной связи по топливу Fp (0) положителен, т. е.
значение Fm (0) отрицательно и | Fm (0) | > Ff (0). Реактор может стать неустойчивым при более высокой мощности, как представлено на рис. 9.13 (кривая с). Теперь покажем это точно, используя уравнение (9.63) с заменой F (s) уравнением (9.65). Для простоты рассмотрим только одну группу запаздывающих нейтронов. Таким образом,
Рис. 9.13. Влияние обратной связи по топливу на неустойчивость.
G (s) = As
Ff(O)
Fm (0) I
S + К I +S/(Hf (^“Ь S/COyr) (1“Н S/СОд,)
= 0. (9.67)
Допустим, что значение Л достаточно мало, так что для представляющих интерес величин s членом As можно пренебречь, т. е. используется приближение нулевого времени жизни мгновенных нейтронов. Считается, что величина CO^ достаточно велика и член I + s/W можно положить равным 1. Тогда уравнение (9.67) запишется в виде
G(S)
s + A-
¦Po
Ff(O)
I + S/CO
M
= 0.
Если выразить время в таких единицах, что А,= 1, а мощность — в единицах 0/ I Fm (0) |, то
CO
M
S + CO
= 0,
'M
где
Ff(O)
< 1.
I Fm (0) I
После умножения на (s + I) (s + co;W) результат можно записать в виде
S2 (I — P0 г) + s {сом [ I + P0 (I — е) I — Po є) + с°м Po (1 — в) = 0. Уравнение (9.68) имеет два корня, обозначаемые <^1>2;
1
(9.68)
У31,2 =
2(1—Po®)
[—WiM (1 + аР0)] ±
± (I + aPof - ^mPo (I-P0 е) (1 - е),
где а = ( 1—є) — є/со м-
(9.69)
399
Пусть е = 1/2 и сол* = 1/4, так что а = —3/2. Тогда (9.69) преобразуется к виду
yM = ;,, ‘ [~(1-ЗР,/2)±1/ (1-ЗР0/2)г-8Р,(1-Р»/2) =
о (I — Po!1)
= „¦ 1,0' [<3^2 - >) ± / 1-11^. + 25^/4] .
О ( I —^o/
При возрастании P0 корни и <^3 остаются действительными и отрицательными до тех пор, пока значение P0 не станет равным 0,0962; тогда подкоренное выражение равно нулю. В этой точке корни совпадают. При более высокой мощности квадратный корень становится мнимым, и Zf1 и cf 2 являются комплексносопряженными. При значении P0 = 2/3 корни становятся чисто мнимыми, и тогда система неустойчива (рис. 9.14). Если же P0 = 1,664, в рассматриваемой задаче квадратный корень снова исчезает, так что два корня становятся идентичными. При еще более высокой мощности^ и Основа различны и действительны.
Когда корни пересекают мнимую ось, значение | Im (s) | равно приближенно 0,35, что примерно совпадает с принятым значением сом- Следовательно, в этом примере собственная частота резонанса, когда значение P0 немного меньше 2/3, сравнима с сод*.
Простые модели обратных связей, подобные описанным выше, оказались полезными для понимания важных физических эффектов в проблемах безопасности быстрых [381 и кипящих водяных реакторов.
Для реалистичной интерпретации поведения настоящего энергетического реактора необходимо использовать намного более детальные модели обратных связей. Затем с помощью аналоговой или цифровой вычислительной техники определяются передаточные функции, чтобы сравнить их с экспериментом. Тем не менее простые модели, подобные описанным в этом разделе, полезны для понимания физической природы некоторых важных механизмов обратных связей. Например, они подтверждают опасность появления неустойчивости, когда первичным механизмом обратных связей является запаздывающий отрицательный температурный коэффициент, и указывают на желательность мгновенного отрицательного коэффициента реактивности.
Im (S) /
P0=O
X А
р0=о, от \
P0=O
Ро= 3
/\ ш у р0~’№
Рис. 9.14. Характеристические корни и появление неустойчивости при положительной обратной связи по топливу.