Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
sign(l -1) = sign(l -(I- s)) = sign(-s) = -1
390
Подставим все известные значения в систему и решим ее:
Рр 1 /
О =----------w{l)--6{l)~ 0 - О
12 EI 2 2
М!)= о +|*</)- о +J-q(o)+-^m(0)
РР 1
О = - + О -в{1)+ О +0
4 EI 2
(?(/)= о + о +±e([)-JLo(0) ~Щ0)
РР
Из третьего уравнения получим в{1) =------------. Тогда из первого
2EI
уравнения
1 РР I РР
- w(l) =---------------+----------
2 12 EI 2 2 EI
РР
w{l) =
РР
6EI ЪЕ1
Второе и четвертое уравнения создают систему:
Р Р 1 Рр
0( 0) + - АГ(0) = - w{l) = -
12 EI 4EI 2 6EI
Р I 1 РР
--0(0) --М( 0) = -0(1) =
4EI 2EI 2 4EI
Решив систему получим Q(0) = -Р, М(0) = Р1. Пример
решен. Теперь для того, чтобы получить значения прогибов и углов поворота
внутри области необходимо подставить полученные граничные значения в
уравнения (25.39") и (25.40"). Чтобы получить значения изгибающих
моментов и поперечных сил необходимо уравнение (25.40") преобразовать в
соответствии с выражениями (25.45) и (25.46).
Таким образом, при применении МГИУ к балкам стирается разница между
статически определимыми и неопределимыми балками.
25.2.8 Основные уравнения МГИУ в матричной форме
Исходными для этого будут уравнения (25.39) и (25.40):
) = 02(г) ¦• W * (z, f) + M(z) ¦ 0 ^* (z, ?) - w(z) ¦ Q * (z, f) ¦- 0(z)
• М * (г, ^ +
+ \q(~)W*{z,Z)dz
391
т=
Q(z)dW*(^)+ M(z)d@*iz>&-wjz)dQ4z^~ 6{z)-M * (Z' ^
df
df
df
+
\q(z)
df
dW*(z,%)
+
dt
Сделаем подстановку в этих уравнениях:
(tm)(f) = 6( О • W * (/, f) - Q( 0) • W * (0, ?) + M(/) • 0 * (/, ?) - M(0)
• 0 * (0, ?) --w(l)-Q*(l,%) + w(0)-Q*(0,Z)-e(l)-M*(l,Z) + e(0)-M*(0,%) +
+
dW*(l ?) dW*(0?) d(r)*(l ?) d(r)*(0 ?)
0(f) = 6(0 - 6(0) +M(/) - M(0) 1 'g)
dt
dt
dt
dt
df
dW*(z,g)
df
df
df
+ q(z) ^ dz
о dg
Запишем эти уравнения для границы , т.е. при ? = 0 и ? = /
w(0) w(l) -W* (0,0) w*(l,0) -(r)*(0,0) (r)*(/,0) 6(0)
6(0
-w *(0,/) dW*( 0,0) W*(l,l) dW*(l, 0) -(r)*(0,/)
</(c)*(0,0) 0 *(/,/) d(c)*(/,0) *
0(0) 0(1) df dW*(0,l) df dW*(l,l) df d(r)*(0,l) df d(r)*(l,l) M( 0)
M(l)
df df df df
(25.60)
+
d!z
+
Q *(0,0) -6*0,0) M*( 0,0) -m*o,o) w(0)
6 *(0,0 -6*0,0 M*(0,l) -m*o,0
dQ * (0,0) dQ*(l,0) dM * (0,0) </m*o, 0) * w(0
df df df df 0(0)
dQ *(0,/) dQ*(l,l) i/M*(o,/) dM*(l,l) 0(1)
df df df df
+
| q(z)W * (z,0)fife
0
1
J q(z)W * (z,l)dz
\q(z)
dW*(z,l)
df
dz
, ,dW*(z,l) j !9(z)^-*
В выражении (25.60) нужно понимать второй символ в скобках так: 0 = 0 +
s, 1 = 1-е, так как все ранее написанные уравнения записаны для
внутренних точек, и формально писать для граничных точек эти уравнения мы
не имеем право. Но
392
можно все же эти уравнения использовать и в граничных точках, сделав
предельный переход при ?^>со.
С учетом этого замечания запишем фундаментальные (25.53)-(25.59),
входящие в (25.60):
иг *(*,?) =
12?/
(c)*(*,?) = -
AEI
W*(0,0) = W*(0,0 + ?) = 0, W*(l,0) =
/3
12 EI
/3
Ж*(0,/) = -- \2Е1
(r)*(0,0) = 0,
(r)*(0,/) = -, A EI
М*( 0,0) = 0,
w4ll)J-"-4 =0.
12 EI
f
AEI
Q4U)J-(i-4 =0.
AEI
М *(/,/) = 0;
1
Q * (0,0) = ^sign(0 - (0 + ?)) = -± б * (/,0) = i
1
1
1
1
б * (0, /) = - 5igw(0 е *(/,/) = - 5igw(/ - (/
- ^)) = -;
dW*(z,%) z-Z 2-
dt AEI
= 0.
<flT*( 0,0) dW*(0,l) 12
dW * (/,0) _ /2
^ ~ AEI
dW*(l,l)
d(r)*(z,%) z~Z\
d% 2 EI
d% AEI
d(r)*( 0,0)
d(c)*(0,/)
= 0.
/
/
rf(c)*(/,0)__________
^ " 2 EI
d(r)*(z,%)
= 0; (25.61)
dM*(z,?)
T
JJS = -zsign{z-%) "4 2
d? 2 EI
dM*( 0,0) 1 .
= 0;
=-^^gw(0-(0 + f)) = i dq 2 2
dM * (/,0) _ 1 dM*(0,l) _ 1
2' ~~ 2 '
dM*(z,?)
dt
T
= ~-sign{l-{I-?)) = --
d?; V
d<24z,Z) dt
dQ*(0,0) rfe*ao) ^e*(o,o ^6*(/,o
= 0.
Матричное уравнение (25.60) с учетом (25.61) будет иметь вид:
393
w(0)
Ml) 0(0) 0(1)
0
/3 12 EI
0
/2
4EI
/3
12?/
О
/2
4EI
О
О
/2
4EI
О
/
2EI
Г
4EI
О
___/_
2EI
О
1 1
6(0)
6(0
АГ(0)
М(/)
2
1
+
0
0
2 1 /
0
0
о -
2
1
2
1
+
0
1
2
1
2
i
I
w(0)
W(l)
0(0)
0(1)
+
12 EI
q(z)dz
f \z ~ if
12 EI
l 2 Z
-\-q(z)d J 4 EI
г к - /r
-у-Е^гФ)*1
4 EI
Упростим последнее уравнение, перенеся все неизвестные вправо.
Это и есть уравнение для балок, решаемых МГИУ, в матричной форме:
-1 1 0 / 0 12 0
2EI
1 -1 -/ 0 /2 2EI 0 1 EI /3 6EI
0 0 1 -1 0 0
0 0 1 -1 1 EI 0 12 2EI
/2
6EI
0
Г
2EI
0
w(0)
w(l)
0(0)
* 0(1) 1
М( 0) 2EI
М(1)
6(0)
6(0
If з
-j zq(z)dz
0
^\(l-zfq(z)dz э о
1
-1 z2q(z)dz о
i
-1 (/ - z)2 q(z)dz
(25.62)
Рассмотрим несколько примеров решения балок с использованием уравнения
(25.62).
394
25.2.9 Примеры решения балок МГИУ
Все примеры решены в среде MATHCAD 2001 в символьном виде. Ниже приведены
листинги соответствующих программ. На взгляд авторов язык MATHCAD на
столько прост,
1 Балка на 2-х опорах под распределенной нагрузкой
Given
-L 6-Е I
Q1 +L 01 =
-q l4
24 Е I
L -q L
qo - l eo r 4
6-E I
24 E I
,5
L q L
qi - ei + eo = 4
2- E I
. i
6 E I
q L
qo - ei + eo ш -3--------------
2 E I 6 EI
Fmd(QO,eO,Ql,ei)
T 4 L
-1 L'
77 4
