Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
точек z). Две из них известны из граничных условий. Т.о., остается одно
уравнение и 2 неизвестных. Для замыкания системы получим второе
разрешающее уравнение, для чего продифференцируем (25.39) по
<ка = \ф )^^ + {e(z)^^ + M(z)^?l- (25.40)
-^)dQ4z^-0^dM4z'4) W d? d%
Уравнения (25.39) и (25.40) приводят к однозначному
решению балок МГИУ.
25.2.3 Граничные условия
Ограничимся только тремя классическими типами
граничных условий:
- свободное опирание w = 0, М = 0 (25.41)
- жесткая заделка w = 0, в = 0 (25.42)
386
свободный конец 6 = 0, М = 0
(25.43)
25.2.4 Пример №1 расчета балки МГИУ
Рассмотрим консольную балку длиной / на которую приложена сила Р в конце
(Рис.25.10).
р
1
" - * *4 Z
1 1 /
Рис.25.10
Граничные условия рассматриваемой консольной балки:
- на левом краю (при z = 0): w(0) = 0, 0(0) = 0; (А)
- на правом краю (при z = I): 6(0 = 0, M(l) = 0. (В)
Запишем уравнения (25.39) и (25.40) применительно к рассматриваемой
консольной балке:
w(f) - j q(z)W * (z,4)dz - мш * (/, f) - в(1)М * (1,4) - (25.39')
о
- Q(0)W * (0, ?) - М(0)@ * (0, ?)
(25.40')
d4 d4
Уравнения (25.39') и (25.40') просто интегральные уравнения для
внутренних точек z и ^. Чтобы данные уравнения стали граничными (ГИУ)
необходимо составить 4 уравнения, положив в первых двух ? = 0, а в
оставшихся ? = /.
К решению данного примера мы еще вернемся.
25.2.5 Зависимости между неизвестными
Используя результаты главы 8 можно записать выражения для угла поворота
в, изгибающего момента М и поперечной силы Q, как функции от прогиба w:
387
- = 0, (25.44)
dz v '
d2w M ^ _Td2w ,~r-
из -г = - получим M = EI-(25.45) dz El dz
из (26.35): ^- = Q получим Q = EI^-^~ (25.46)
dz dz
Здесь El = const - жесткость балки при изгибе.
25.2.6 Фундаментальные решения
Идея получения фундаментального решения для прогибов заключается в
решении дифференциального уравнения относительно w, в которое входит и
нагрузка q. (Это вообще какая-то нагрузка, в частном случае это
интенсивность распределенной нагрузки). При этом нагрузка предполагается
равной дельта функции Дирака.
Дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет
вид:
d2w _ М dz2 ~ EI
Воспользовавшись (25.36) получим:
d4w _ q ~dz*~~EI
Это уравнение которое мы ищем. Оно связывает w и q. Положим q = S(z,<%):
d4W*(z,Z)_S(z,Z) (254?)
dz4 EI
Искомое фундаментальное решение имеет вид
W*(Z't) = 2ltW (25'48)
Получим 4 первые производные от W*(z, g) по z: d
dz
\z-4\ -W*(z,?) = l S| г 4 EI (25.49)
2 \Z ~ 'э 1 2W*(z,f)=l 4 г 2 EI (25.50)
(25.51)
г v EI (25.52)
388
Получим фундаментальные решения уравнения (25.39):
из (25.44) и (25.49): (r)*(z,?)
(25.53)
(25.54)
(25.55)
из (25.45) и (25.50): M*(z,?) = ^\z-^\
из (25.46) и (25.51): Q*(z,?) = -^sign(z-?)
Получим фундаментальные решения уравнения (25.40):
(25.56)
(25.57)
-jzM*(z,^) = ~ sign(z - %) dq 2
4-Q*(z,Z) = S(z,Z)
(25.58)
(25.59)
В последнем выражении пропадает 2 в знаменателе, т.к. |jc|"= (sign х)'=
25 (х).
После подстановки фундаментальных решений (25.47), (25.53) - (25.55),
(25.56) - (25.59) в уравнения МГИУ (25.39) и (25.40) решение задачи, с
точки зрения теории, можно считать выполненным.
Одной из основных особенностей применения МГИУ является вычисление
интегралов с особенностями. При расчете балок МГИУ ядра не содержат
особенностей, да и интегралы по границе все вырожденные, т.к. граница -
всего 2 точки. Интегрировать придется только по объему, т.е. только по
длине балки, да и только там, где приложена распределенная нагрузка.
В нашем примере, т.к. на всей длине балки внешняя нагрузка - сила Р
действует только в одной точке z = l, то интегрировать в уравнениях
(25.39) и (25.40) нечего (интегралы вырождаются):
25.2.7 Продолжение решения примера №1
389
\-W*(z,%)dz = - W*(z,Z) = -\l-^-{d% d% AEI
Запишем интегральные уравнения (25.39') и (25.40'),
подставив в них выше записанные выражения и соответствующие
фундаментальные решения:
мя=- imd -\h Под - е(°) -^гм((r)
(25.39")
|/-г|2 1 |о-г|2 |о-г|
*(я=+- 2 ¦^ - *жо+^^е(о)+^м(о)
(25.40")
Чтобы получить ГИУ нужно записать эти уравнения при ? = 0 и при ?=/:
"<о)=-р^- - !""*(/ - омо -\\i - цт -о-о
I/-/I3 1 1, . |о-/|3 |о-/|2
W(/) = ПЫ ~2Sign{l"/)W(0"211'^(/)"'йы-Q{0) АШЩ0)
<9(0) = -Р + S(l,0)w(l) ~-sign(l - 0)0(1) + 0 + 0
4 El 2
I/-/I2 1 |0-/|2 10-/1
m = ~p-^f + WM0 --signQ -1)0(1) + l^fQ( 0)+
Получили СЛАУ dim = 4. Решение ее не составляет труда, однако не
определены коэффициенты с д и sign. Рассмотрим их:
1) ?-дельта функция введенная Дираком в 1926 г. Ее определение:
Г0приz ф0 г
S(z) = \ р и 3(z)dz = l
[оо при z = 0 ^
Когда пишется S(z,?), то нужно понимать это так, что функция в скобках
есть расстояние между точками (векторами) z и Теперь понятно, что ?(/,0)
= 0. При рассмотрении другой дельта функции можно применить такой прием
8(1,1) = 8(1,1-s) = 0
_, _ Г-1 при х < 0
2) Функция знака по определению signz = \ ,
[ 1 при х>0
следовательно, sign(l- 0) = 1. С sign(l-l) поступим аналогично 3(1,1):
