Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
множеством частот собственных колебаний
ю =-(2и-1)
"2/
Каждой собственной частоте колебаний юи соответствует определенная форма
собственных колебаний
Возникновение той или иной формы колебаний зависит от начальных условий.
В общем случае решение записывается в виде суперпозиции собственных форм
колебаний____________
U(х,t) = J^An sin (2w ^ sin(ro^ + ф J,
п=1
366
где Ап и фв - постоянные, которые определяются из начальных условий.
24.10 Крутильные колебания стержней
Рассмотрим вал в форме однородного цилиндрического стержня крутильной
жесткостью GJp, плотность материала
которого р. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными оси вала, элемент
длиной dx (рис.24.12).
//////// ////////
(_ l\
//// / '/// X /1 dx 1 7 //////// f
На этот элемент действуют крутящие моменты Мкр и + dMkp, а также момент,
вызванный инерцией вращения вала
Mt = pJpdx
где Jp - полярный момент инерции,
Ф - угол закручивания сечения х относительно начала отсчета.
Составим уравнение равновесия вала с учетом сил инерции
рJ dx^- = ^^-dx.
F р dt2 дх
367
Относительный угол закручивания моментом зависимостью
Эф
Эф
дх
связан с крутящим
М,
дх GJp
Учитывая это, получим уравнение свободных колебаний
где с2 - скорость распространения кручения деформаций в стержне. Р
Это уравнение в точности совпадает с уравнением продольных колебаний
стержня. Следовательно, совпадают их решения.
23.11 Поперечные колебания стержней
Пусть однородный стержень длиной / с постоянной жесткостью на изгиб EJ и
плотностью материала р свободно опирается на опоры в точкахИ и В
(рис.24.13)
Для вывода уравнения поперечных колебаний стержня выделим двумя
сечениями, перпендикулярными его оси, элемент длиной dx. Силы,
действующие на элемент, показаны на рис.24.13. Интенсивность сил инерции
массы балки, направленных перпендикулярно оси балки равна
d2w
4i = PF^T-
df
д
Q
M+dM
Q+dQ
Рис.24.13
368
Спроектируем все силы, действующие на выделенный элемент, включая силы
инерции, на нормаль к оси балки. В результате получим
рFdx
д w 8Q
= --dx.
dt2 дх
Используем дифференциальные зависимости при изгибе
QQ _ д2М _ d4w
дх дх2 dt4
Подставим полученное выражение в предыдущее равенство,
получим дифференциальное уравнение свободных колебаний балки
EJ
где с2 = скорость распространения изгибных деформаций в
рF
стержне.
Решение этого уравнения будем искать в виде
w(x,t) = /(jc)sin(atf + ф).
Уравнение для определения функции f(x) в этом случае будет
J 4 2 j
dx с
Общее решение его может быть записано в виде
/(jc) = Ах sin J^~x + Л2 cos + A3shJ^-x + A4chJ^-x
Постоянные интегрирования Ax, A2, Аъ, АЛ определяются из условий
закрепления балки. В случае балки шарнирной опертой на концах с учетом
дифференциальных зависимостей имеем
4-0 =
щ = 0.
\х=1
d2w
дх
d2w
х=0
дх
= 0.
Х=1
Учитывая, что sin(co?+ср) не зависит от х, получим условия для
определения постоянных интегрирования
ДО) = /(0 = 0, /"(о) = /"(0 = 0 Здесь штрихом обозначена производная по
х. В результате получим А2=А4= 0 и
Ах sin + A3shJ^-t = 0
- Ах sin + A3shJ^-t = 0
Эта система линейных однородных алгебраических уравнений относительно Ах
и А3. Она имеет нетривиальное решение если ее определитель равен нулю.
369
В развернутом виде это равенство имеет вид:
sin.
ю
Учитывая, что shJ-l = 0 только при - I = 0, получим условие
ю
ю
sinJ-/ = О, -/ =71 п . с с
Следовательно, как и в случае продольных колебаний, при поперечных
колебаниях балки имеется бесконечное множество частот собственных
колебаний.
ю.
_ 2 2 _ 2 2
71 П С 71 П
12
/'2
\EJ рF
Каждой собственной частоте колебаний юи соответствует определенная форма
собственных колебаний
/"(*) = 4,sin
Первые три собственные формы колебаний балки представлены на рис.24.14.
Выражения для прогибов в общем случае свободных колебаний балки имеет
вид______________________________
w'(jc, t) = jr An sin-x • sin(a)nf + cp").
n=1 I
Постоянные An и cpn определяются из начальных условий, которые
представляют собой распределение прогибов и их скорости по длине балки в
начальный момент при t = 0.
371
ГЛАВА 25
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И БАЛОК МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В последние годы в теории и практике механики материалов все чаще
применяются различные численные методы. В начале это были в основном
вариационные методы и метод конечных разностей. Сейчас наибольшее
применение нашли проекционные методы расчета конструкций, деталей машин и
т.д. На сегодня наиболее распространенным является метод конечных
элементов (МКЭ). Эти тенденции можно проследить по соответствующим
учебникам, статьям и другой научной литературе.
В последнее десятилетие наряду с МКЭ развиваются другие, часто более
прогрессивные численные методы. К их числу относится метод граничных
интегральных уравнений (МГИУ) и его численная реализация метод граничных
элементов (МГЭ). Подробное описание МГИУ выходит за пределы данной книги.
Кратко для большинства задач МГИУ, в сравнении с МКЭ, можно
