Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
нетривиальное (отличное от нуля) решение только в том случае, если ее
определитель равен нулю, т.е.
т^цЮ2-! т28п ю
/и25 21ю
/и25 12ю 1
тпЪы ю
т282ию
= 0
wiS"i(r)2 (tm)2Ьп1ы2 тп8пп(й2 -1
Записав определитель в развернутом виде и обозначив через ак коэффициенты
при различных степенях ю получим уравнение п -ой степени для квадрата
частоты
1 - ci-fn2 +а2ю4 -аъю6 + ... + (-1)"аию2" =0.
Решив это уравнение, получим п корней, т.е. п частот собственных
колебаний балки ю15 ю2,..., юи. Каждой собственной частоте соответствуют
п значений амплитуды Аы (к,1 = \,2,...,п).
Тогда общее решение исходной системы дифференциальных уравнений можно
записать в виде
В предыдущих разделах было показано, что колебания упругих систем с п
степенями свободы описываются системой п обыкновенных дифференциальных
уравнений. Также установлено, что для таких систем существует п
собственных частот и собственных форм колебаний.
362
24.8 Свободные колебания балки с двумя сосредоточенными массами
В частном случае, когда на балке расположены только два груза т1 и т2 в
полученных выше формулах следует п положить равным двум.
В частности линейные алгебраические уравнения для амплитуд имеют вид
(т^цЮ2 -l)^! +т2Ьп<й2А2 =0
т2& 21(r) ^1 + (^2^ 22(r) _ - (r)
Тогда определитель, системы алгебраических уравнений для определения
собственных частот будет равен
т^цЮ2-! т2дп аГ Ш]8 21ю т28 22со -1
или в развернутом виде
1 со (SjjTWj + 822tn2) + (D (^11^22 - ^12)^1 т2 ~
Из этого уравнения получим два значения для частоты собственных колебаний
_ 5 1 хЩ + § 22т2 ± У(5 ПЩ ~ 5 22т2 J + 4^1^25 1\
2ш1т2(811822 - 812)
1 2
Пусть т] = т2=т, а координаты их приложения /, =~1, /2 ^
Тогда, полагая жесткость балки постоянной ?7 = соня/, найдем способом
Верещагина.
4/3 7/3
= 0
(r) 1,2
^11 - ^22 - ^12 - ^21 -
243EJ " ~ 486EJ
Квадраты частот собственных колебаний балки в этом случае будут
2 162 EJ 2 2430?/
со, =-------, и, =
1 5т/3 ' 2 5т/3
Так как определитель системы линейных алгебраических
уравнений для определения амплитуд равен нулю, то эти
уравнения линейно зависимы. Поэтому для каждого значения ю мы можем
определить только отношение амплитуд. В
рассматриваемом случае
А\ = ^12 = А 5 ^21 = -^22 = А *
Таким образом, мы имеем два линейно независимых решения, соответствующие
двум формам колебаний: при со =00! wl = Ах sin(ro^ + ), w2=Ax sin(ro^
+ ф!)
363
и при со =со2
wx = Л2 sin(a)2? + ф2), w2= -Л2 sin(a)2? + ср2) Эти формы колебаний
показаны на рис.24.10.
Общее решение системы имеет вид:
wx = Ах sin((o^ + фЭ + А2 sin(ro2^ +ф2) w2 = Ах sin(ro^ + (рх)-А2
sin(ro2^ + ф2)
Постоянные Ах и А2, ф, и ф2 определяются из начальных условий.
24.9 Продольные колебания стержней
Модель системы с п степенями свободы не всегда оказывается приемлемой при
кручении колебаний реальных упругих конструкций. В таких случаях следует
учитывать, что масса системы распределяется непрерывно, т.е.
рассматривать модель системы с бесконечным числом степеней свободы.
Для систем с бесконечным числом степеней свободы (п = оо), т.е. для
систем с распределенными массами наблюдается качественное отличие
уравнений описывающих колебательные движения и свойств решений этих
уравнений. Одной из
364
простейших моделей таких систем является стержень, в котором возбуждаются
предельные колебания.
Рассмотрим однородный призматический стержень длиной /, и площадью
поперечного сечения F, и плотностью материала р. Выделим двумя
перпендикулярными сечениями оси стержня, элемент стержня длиной dx
(рис.24.11)
1
/ X , dx t
/ / I
/
рFdx
д2и
4 N N+dN
4 4
Рис.24.11
На этот элемент действуют нормальные усилия N и N + dN, а также силы
инерции
д2и
Р] - pEdx
dt7
где и - осевое перемещение в рассматриваемом сечении.
Используя принцип Даламбера, составим условия
равновесия элемента стержня
д2и 8N pEdx-
Учитывая, что
е =
dt2 дх
N ди
dx.
EF dx
Запишем уравнение движения стержня в виде
д2и 2 д2и
dt7
= с
dx
2 '
365
где с2 =Е/р - скорость распространения волн деформации в стержне.
Таким образом, уравнением свободных продольных колебаний стержня является
дифференциальное уравнение с частными производными гиперболического типа.
Неизвестная функция и зависит от двух переменных х и t. Решение этого
уравнения будем искать в виде
r(xx,t) = / (jc) sin(otf + ф ).
Для определения вида функции f{x) подставим u(x,t) в уравнение движения.
После преобразования получим уравнение для определения /
(r)Х"1/=о
д 2 Т 2 J ОХ с
общее решение которого имеет вид
г, ч . . CDJC . ЮХ
j (х) = Ах sin - + л2 cos-.
с с
Постоянные Ах и А2 зависят от условий закрепления стержня. Для
определенности предположим, что левый конец
стержня закреплен и = 0, а правый - свободен - = 0, тогда
дх
А2= О, Д -cos- = 0. с с
Так как нас интересует нетривиальное решение, то из последнего равенства
следует, что
со/ ю/ 71
cos- = 0 или - = -(2и-1), с с 2
где п - любое целое число. Таким образом, стержень обладает бесконечным
