Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зозуля В.В. -> "Механика материалов" -> 83

Механика материалов - Зозуля В.В.

Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов — Х.: Национальный университет внутренних дел, 2001. — 404 c.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка): mehanikamaterialov2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 91 >> Следующая

характеризовать как более сложный с математической точки зрения, но более
быстрый численный метод расчета. Основным преимуществом МГИУ является
понижение порядка решаемой задачи на единицу.
В данной главе будут рассмотрено применение МГИУ к наиболее простым,
линейным задачам механики материалов - к стержням и балкам. Так как
задача линейная, то границей будут только две точки - начало и конец
стержня или балки, т.е. решаемая задача становиться ноль мерной.
25.1 Расчет стержней МГИУ
Здесь будем рассматривать только статические задачи расчета стержней
постоянного поперечного сечения. Кратко будут повторены основные
результаты главы 5.
25.1.1 Постановка задачи и основные уравнения
Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения F, на который
действуют внешние силы, направленные вдоль продольной оси, или нагрузки,
равнодействующая которых направлена также вдоль продольной оси. При такой
постановке
372
задачи в поперечных сечениях стержня возникает только один силовой фактор
- продольная сила. Т.е., имеем случай простой деформации растяжения или
сжатия. В дальнейшем будем рассматривать в основном только растяжение, а
при сжатии будем считать, что условие устойчивости соблюдается всегда.
Рассмотрим такой стержень (Рис.25.1).
/ X
р п(х)
0 W W W W W W 'у * /
\
X / dx / /
/ > / 1
/ /
Рис.25.1
Выделим из стержня элемент длиной dx на расстоянии jc от левого конца
стержня (начала координат).
На выделенный элемент действует нагрузка п{х), которую можно считать
равномерно распределенной ввиду малости dx и уравновешивающие продольные
силы (положительные для определенности): в левом сечении N, в правом N +
dN, где dN -приращение продольной силы на участке длиной dx (Рис.25.2).
Уравнение равновесия - сумма проекций всех сил, приложенных к элементу
=0: -N + n(x)dx + (N + dN) = 0 (25.1)
и = (25.2)
dx ' '
Это дифференциальная зависимость между п{х) и У. Из (25.2) получим
dN = -n(x)dx (25.3)
i
N = - j n{x)dx + Cj (25.4)
о
Считаем, что гипотеза плоских сечений выполняется
*.=j (25.5)
Закон Гука при растяжении-сжатии
ех= - = - (25.6)
' Е EF' '
здесь Е- модуль деформации (упругости) материала стержня
373
Если обозначить через du удлинение стержня dx, то его удельное удлинение
",=? (25.7)
dx
Сравнивая формулы (25.6) и (25.7) получим
du _ N dx EF
Продифференцируем (25.8) еще раз. Учтя (25.2) получим
d2u _ d N _ 1 dN _ п(jc)
dx2 dx EF EF dx EF Запишем теорему взаимности работ Бетти в интегральной
форме
(25.8)
(25.9)
| u'ndx +u'N\!q = | un'dx+uN^
(25.10)
здесь и', ri, N' - параметры одного состояния стержня, и, п, N -параметры
другого состояния стержня.
Пусть надлежит определить параметры последнего состояния и, п, N, а
штрихованные принадлежат вспомогательному состоянию.
Из (25.10) можем получить
| (u'n-un')dx +(Nu'-N'u) Iq = 0
(25.11)
или, используя обозначения теории потенциалов (u'=U*(x,?) и n'=N *(*,?)),
и выбрав во вспомогательном состоянии нагрузкой дельта-функцию Дирака
п'=5{х,?), получим
i
| (U * (jc, %)п{х) - и{х)8(jc, ?))c/jc +(N(x)U * (jc, ?) - N * (jc,
^)u(x))f0 = 0
0
Воспользуемся основным свойством дельта-функции
| u(x)S (jc, %)cbc = u{%)
Тогда теорему взаимности можно записать следующим образом
374
(25.12)
Это уравнение и есть основное уравнение МГИУ для расчета стержней.
25.1.2 Фундаментальные решения для стержней
Положим в (25.9) п = 5{х,?) и переходя к обозначениям теории потенциалов
получим
d2U*(x,%) д(х?)
d2x
EF
(25.13)
где u = U*(x,%), N = N*(x,%).
Чтобы получить фундаментальное решение для удлинения стержня можно просто
проинтегрировать уравнение (25.13)
I
d2U*(x,%) d2 х
dx = -J
S(x,&
EF
dx
dU * (jc, ?) sign(x - g)
dx 2 EF
здесь использовалась известная формула дифференцирования дельта-функции
5{x,g) = sign{х-%)
I
dU * (jc, ?) dx
dx--^
sign{ x-%) 2 EF
dx
x-t;
U*(x,& = -
2 EF
(25.14) для
(25.15)
Формула (25.15) и является фундаментальным решением для удлинения
стержня.
Аналогично поступим и с фундаментальным решением для продольной силы.
Приравняем (25.8) и (25.14) получим
N*{ x,g) sign{ х-%)
EF
2 EF
(25.16)
Вставим полученные фундаментальные решения в основное уравнение МГИУ для
стержней (25.12):
и(?) = U * (/,?)#(/) - u{l)N *(/,?)-[/* (0,?)У(0) +
i
+ u(0)N * (0, ?) + J U * (jc, %)n{x)dx
(25.17)
"(?) = + uQ)\sisn{1 ~ ?) + ~
~ u(P)^sign(0 - %) - J n{x)dx
(25.18)
375
или w(?) = ----N(l) + u(l)- + --------У(0) + и(0)- - f- -n(x)dx (25.19)
2 EF ^ '11717 О " 01717
2 2 EF
2 EF
Эти выражения содержат четыре неизвестные и{1), и(0), N(1) и 7V(0).
Половина из них известна из граничных условий. Составив уравнения (25.19)
для начала и конца стержня (границ), можем найти оставшиеся неизвестные.
Однако, иногда бывает проще использовать уравнение, аналогичное (25.19)
для продольной силы. Получим его дифференцированием (25.17) по ?
МП _ dU4Wm_dN4Wuil)_dU4 0,4) т+
dt
dt
dt
+
dt

dt
(0) + J-
dN*(0,%) lrdU*(x,%)
dt
n(x)dx
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed