Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
собственные функции эрмитова оператора M , соответствующего динамической переменной Af (например, энергию Е, импульс р и др.), то говорят об Af-представлении (например, о Е-представлении, p-представлении и др.).
2°. Согласно принципу суперпозиции функцию Щх, t) можно разложить по собственным функциям Tm(JC)
оператора M . В случае непрерывного спектра собствен-
XN
ных значений оператора M :
T(3C, t) = Ja(M, t)TM(x) dM,
где
а(М, t) = J Tm (?) Т(л;, t) cbc.
Первая формула выражает переход от Af-представления к ж-представлению, а вторая — обратный переход от координатного представления к М-представлению.
Плотность вероятности р(М, t) найти переменную M в момент времени t, заключенную в пределах от Af до M + dМ, равна
pJM, t)-g = \а(М, tf.
В случае дискретного спектра собственных значений оператора M (Af1, Af2,..., Mn,...) T (х, t) = ^ an(t)4'n(x),
Tl
где an(t) = а(Мп, t) = J Tn (x)4J(x, t) dx.
760 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
Вероятность того, что величина М, равна Mn в момент времени t,
w (М„, t) = \an(t)\2.
3°. В параграфе VI.1.4.4 приведены выражения one-
/Ч
раторов M механических характеристик частицы, соответствующие координатному представлению (х-пред-ставлению):
(P(JC)=MvW, (1.2)
где (р(х) и у (х) — функции координат.
Выражение оператора M в энергетическом представлении (в Ь’-представлении), например, при дискретном спектре значений энергии En (п = 1, 2, ...) можно найти следующим образом. Функции 1(/(*) и <р(х) представляют в виде разложения по собственным функциям \\1п(х) оператора Гамильтона:
W(X) = ? сп\\1п(х) и <р(х) = YjbМ)’ (1-3)
• П Tl
где совокупность Cn и Ьп задают функции у и <р в Ь’-пред-
ставлении. Оператор M , переводящий функцию 1|/(л:) в
ф(х), переводит совокупность сп в Ъп. Оператор M в ^-представлении должен непосредственно переводить сп в Ьп Из (1.2) и (1.3) имеем:
П Tl
¦к
Умножая это равенство на \|/т (пе) и интегрируя по всему пространству, в силу ортогональности функций получим
— ^ cTi^mnj п
где Mmn — I (л:) M xFn(Jt) ал: — матричный элемент
/\
оператора M в ^-представлении. Совокупность всех мат-ричных элементов представляет оператор M в В-пред-
VI.1.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
761
ставлении. Его можно записать в виде бесконечной квадратной таблицы — матрицы.
п...
M2iM22--M2n...
или, сокращенно, M = (Mmn) = \Мтп\.
Обычно строки и столбцы матрицы нумеруют в порядке возрастания энергии: E1 < E2 < ... < En < ... .
4°. В случае импульсного представления (р-представ-ления) функции 1(/(?) и ф(х), связанные оператором M , разлагают по собственным функциям \[ip(x) оператора р, имеющего непрерывный спектр собственных значений: ТОк) = Ja(p)vp(a-)dp и <р(х) = j b(p)yp(x)dp.
/Л
Так как ip(x) = M Ч'(х), то
J b(p)yp{x)t\p = ja(p)M ціг(х)йр.
¦к
Умножая это уравнение на и интегрируя по
координатам, получаем
Jfc(p)dpJ у* '(X)Xiip(X)IlX = Ja(p) dp J у*. (х)М \\sp(x)Ax, или, вследствие ортогональности функций 1Wp(X),
Ъ(р') = ^a(P)Mр,р&р,
<• * XN
где Mp'р = (х) M \\ip(x)dx — матричный элемент one-
XN
ратбра M в р-представлении.
5°. Матрицу называют диагональной, если отличны от нуля только ее диагональные элементы:
а) в случае дискретного спектра Mmn = 0 при т^ п;
б) в случае непрерывного спектра Мр,р = 0 при р' *= р. Диагональную матрицу называют единичной матрицей Ътп, если 8mn = 1, при т = п, и 8тп = 0 при т* п.
762 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
Оператору M в его собственном М-представлении соответствует диагональная матрица. При этом имеют диагональные матрицы и все другие операторы, комму-
/\
тирующие с M. Например, оператору H в .Е-представлении соответствует диагональная матрица, которая в случае дискретного спектра имеет вид
[ Erl при т = п,
гг =FX =J
zlTIin I 0 при т^п.
Матрице M = ||Мтп]| соответствует:
а) комплексно сопряженная матрица М* — ||М^П|;
б) транспонированная матрица M = |Mmn|| , где
||Mmn|| = Mnm, т. е. в M строками служат столбцы матрицы М, а столбцами — строчки матрицы М;
в) сопряженная матрица M+ = |/VfJ , где Mmn = = М*
1 пт ~ %
Матрицу M называют самосопряженной, или эрмитовой, если с ней совпадает ее сопряженная матрица,
т. е. Mmn = Mnm = Mmn . Всем самосопряженным операторам соответствуют самосопряженные матрицы.
6°. Алгебраические операции над матрицами:
AAA
а) сумме операторов С = А + В соответствует мат-
А А
рица |Ств| , равная сумме матриц операторов А и В : ||Cm«|| = IK.,,1 + II^mnII > причем Cmn=Amn + Bmn;
A AA
б) произведению операторов C=BA соответствует матрица ||Cmn|| , равная произведению матриц операторов
? и В : IICmJ = ||Атп|| 1Втп\\ , причем Cmn = JjAmkBkm.
k
7°. Среднее значение величины M в ./^представлении при дискретном спектре энергии выражается в матричной форме следующим образом:
<М> = S S Мтпсп’
Ti т
VI.1 7 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
763
где Mmn, ст и сп имеют тот же смысл, что в п. 3°. Производная по времени от (M) равна
