Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
т е4Z2 і RJiZ2
776 Vl 2 ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
где п = 1, 2, 3,... — целое положительное число, называемое главным квантовым числом, h = 2лЙ — постоянная Планка, R00 — постоянная Ридберга:
/77
Roa = *= 3,28 • IO15 Гц,
8й3е0
R„ h = і а2 тес2,
є2 I
где a = g-—~ — постоянная электромагнитного
взаимодействия (постоянная тонкой структуры).
Энергетические уровни сгущаются по мере увеличения п. Состояние Eoa = 0 (п — 00) соответствует переходу электрона в свободное состояние, т. е. ионизации иона. Состояние п = 1 называют основным состоянием, а состояния с п > 1 называют возбужденными состояниями. Энергия основного состояния атома водорода (Z-I)
E1=-- = -13,6 эВ. е
Примечание. С учетом того, что и электрон, и атомное ядро движутся относительно центра масс иона, в написанные выше выражения для постоянной Ридберга нужно подставлять вместо массы те электрона приведенную массу системы электрон-атомное ядро:
пр- I + mJM где M — масса ядра.
4°. Одновременно с энергией электрона в водородоподобном ионе принимают дискретные (квантованные) значения квадрат модуля момента импульса электрона L2 и его проекция Lz:
L2 = h4(l + I)
и
L2 = mh.
Число I, называемое орбитальным квантовым числом, может принимать при заданном главном квантовом числе п значения: I = 0, 1, 2,..., (п - 1). Соответ-
VI.2.6. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 777
ственно число т, называемое магнитным квантовым числом, принимает значения: т = 0, ±1, ±2,..., ±1.
В табл. VI. 1 приведена принятая система обозначений состояний электрона в зависимости от значения его орбитального квантового числа I. Например, состояния (п = 4, I = 3) и (п = З, I = 2) обозначают соответственно как 4s и 3d.
Таблица VI. 1
Орбитальное квантовое число О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Состояние S P d / g h і k I т п
5°. Энергия водородоподобного иона и атома водорода (Z — 1) не зависит от орбитального и магнитного чисел. Поэтому состояние с энергией En при п > 1 вырождено. Кратность вырождения равна числу различных возможных квантовых чисел 1шт:
П~ 1
? (21 +I) = п2.
I= о
Релятивистские эффекты и спин-орбитальное взаимодействие частично снимают вырождение энергетических уровней атома водорода и водородоподобных ионов, вызывая их расщепление на близко расположенные подуровни, энергия которых зависит не только от главного квантового числа п, но и от орбитального I (тонкая структура уровней):
Г _ RhZ2 (, , Z2 а2 ( п ЗУ\
Ет-—^l1 + -7prljTo^ ~4 )}
1 P2
где і — 1± - — внутреннее квантовое число, а = —— ~
2 2е0hc
~ 1 — постоянная тонкой структуры.
Iu I
6°. Собственные радиальные функции:
Rn&) = N UfiU2VLznl^1(Z),
778 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
є
где ? — , а0 = ——- = 5,29 ¦ IO-11 м — бороеский ра-
па0 п тее2
диус, Nnl — множитель, определяемый из условия нормировки:
J Rh &r2dr = 1.
Обобщенный полином Лагерра L™ (?) выражается через производные от полиномов Лагерра
так что
С
7°. Нормированные волновые функции электрона в водородоподобном ионе и в атоме водорода (при Z = 1) для некоторых значений квантовых чисел п, I кт имеют вид:
w=l, Z = 0, то = 0 (ls-подгруппа)
^ioo = 7= (~ )2 ехр(_—);
V aQ J V а0 J
Ti = 2, I = 0, то = 0 (2в-подгруппа)
Ti = 2, Ї = 1, то = 0 (2р-подгруппа)
5
4*210 = —7= ( — ) г ' expf-^— ) cos б;
' ao ' ' о '
Ti = 2, I = I, то = +1 (2р-подгруппа)
5
^2iii rexpI )sin 6'exp(±i<p)-
VI.2 7 РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ 779
8°. Вероятность нахождения электрона в атоме водорода в основном состоянии (п = I, I = т = О) на расстоянии от ядра в пределах от г до г + dr:
dw = IViool2 ' 4Tcr2dr.
Радиальная плотность вероятности
_ dw 4г2 ( 2г ^
Pw = J- = -S- exP “ — dr a® ^ ао '
имеет максимум при г = а0.
7. РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ
1°. Рассеянием в силовом поле’, обладающем центральной симметрией, называют отклонение частиц от первоначального направления их движения в результате взаимодействия с рассеивающим центром. В частности, этим центром может быть атом или ион.
Число частиц, рассеянных в единицу времени под углом 0 относительно направления z их первоначального движения внутрь телесного угла dQ, равно dN = о(0)« dQ,
где п — число частиц, проходящих за единицу времени через единицу площади поперечного сечения в первоначальном пучке частиц (интенсивность пучка).
Величину da = c(0)dQ, имеющую размерность площади и характеризующую вероятность рассеяния
частиц пучка в телесный угол dQ, называют дифференциальным сечением (дифференциальным эффективным сечением) рассеяния. Величину
471 к
G=J g(G) d?2 = 27ijG(G)sin G dG,
о о
характеризующую вероятность рассеяния частиц пучка по всевозможным направлениям, называют полным сечением рассеяния. Оно равно числу, частиц из пучка единичной интенсивности, рассеиваемых центром за 1 с по всевозможным направлениям.
Различают упругое и неупругое рассеяния. В первом случае изменяются только импульсы частиц, а во вто-
