Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2°. Измерения неопределенностей Ах, Ay, Az (среднеквадратичных отклонений Ax = X2) - {х)г , ...) в коор-
(1.1)
V
XJZ = C1XJZ1 + C2XJZ2 + ... + CjXJZi + ... ,
2. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА
744 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
динатах х, у и г частицы связаны с одновременным измерением неопределенностей Apx. AjDy и Apz в проекциях рх, ру и рг импульса этой частицы соотношениями неопределенностей Гейзенберга:
AxApx > AyApy > I, AzApz > \ ,
где h = — постоянная Планка.
2п
В квантовых статистиках используются соотношения неопределенностей в форме AxApx > ft, AyApy >йи AzApz > Л, что соответствует размеру Л3 ячейки 6-мерного фазового (і-пространства состояний.
Соотношения неопределенностей имеют место для любой пары канонически сопряженных динамических величин.
3°. Для нестационарных процессов измерения среднеквадратичного отклонения энергии AE за промежуток времени At выполняется соотношение
* AEAt > h.
Это соотношение допускает несколько толкований:
а) At — время пребывания микрообъекта в состоянии с энергией E (например время жизни атома в возбужденном состоянии), a AE — неопределенность в энергии этого состояния;
б) AE — неопределенность в энергии микрообъекта в каком-либо процессе (например, в процессе туннелирования частицы сквозь потенциальный барьер), а At — длительность этого процесса;
в) за время At энергию квантовой системы можно определить с точностью, не превышающей AE.
4°. В квантовой механике существенно изменяется (по сравнению с классической физикой) понятие о процессе измерения и измерительном приборе. Процесс измерения в микромире неизбежно связан с существенным влиянием прибора на ход измеряемого явления. Например, для определения положения электрона его необходимо «осветить» квантом малой длины волны. Ho с уменьшением длины волны кванта растут его час-
VI.1-3- ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 745
то та и энергия, в результате чего соударение кванта с эчектроном существенно изменяет импульс последнего, и притом на неопределенную ^порядка j величину.
3. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1°. Оператором (преобразованием, отображением) называют правило, с помощью которого одной функции f сопоставляется другая функция g. Символически обозначают
ft/ = *.
XN J
Например, если / = sin х, a g = cos ж. то M = -р- —
dx
дифференциальный оператор.
ХЧ.
2°. Оператор M называют линейным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:
M (U1 + и2) = M (U1 + M и2) и M (сц) = сМ (и),
где U1 и ы2 — две произвольные функции, -ас — произ-
d
вольная постоянная. Например, оператор M = — —
djt
?\ г—
линейный, а оператор N = V — извлечение квадратного корня '— нелинейный:
JuI + U2 * Ju1 + JiT2 .
3°. Произведением двух операторов MhN называ-ют оператор K=MN такой, что Ku = M (N и), где и —
XN XN
произвольная функция. Два оператора MhN называ-
XN Х*Ч XN А
ют коммутирующими, если M N = N M , т. е.
746 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
Например, операторы M = и N = Д- — комму-
Ojc ау
3 XX
тирующие, а операторы M = — и N=* — некомму-
дх
тирующие.
4°. Если в результате применения оператора M к функции и, которая при всех значениях ее аргументов однозначна, непрерывна и конечна, получается та же функция и, умноженная на некоторое число X (в общем случае комплексное):
Mu = Xu,
то функцию и называют собственной функцией опера-тГ4
тора M , а X — собственным значением оператора M , соответствующим собственной функции и.
5°. Линейный оператор M называют самосопряженным (или эрмитовым) оператором, если для него справедливо следующее условие:
Ju1 M Ugdt = Jw2(M Uj)*dT,
где dt = dx1d*2--4 интегрирование проводится по всей области изменения независимых переменных X1, х2, ¦¦¦, а функции Iu1I2 и |и2|2 интегрируемы в этой области, значок * означает комплексное сопряжение.
Характерная особенность самосопряженных операторов, обусловившая их применение в квантовой механике, состоит в том, что их собственные значения являются вещественными числами.
Если операторы MhN самосопряженные, то опе-
раторы M + N самосопряженные и M N + N M — так-
же самосопряженные. Если операторы MhN самосопря-
/\ XN
женные и коммутирующие, то их произведение MN — самосопряженный оператор.
6°. Если ult U2 — собственные функции линейного самосопряженного оператора с дискретным спектром собственных значений, и, если этим функциям соответ-
VU 4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
747
ствуют разные собственные значения, то любые две из этих функций ортогональны друг другу, т. е.
где интегрирование проводится по всей области значений независимых переменных.
Возможен также случай, называемый вырожденным, когда нескольким разным (т. е. линейно независимым) собственным функциям оператора соответствует одно и то же собственное значение. Число этих функций называют кратностью вырождения. Все эти вырожденные функции не ортогональны друг другу. Однако их можно заменить взаимно ортогональными собственными функциями, представляющими собой линейные комбинации вырожденных собственных функций. Систему ортогональных функций обычно нормируют, т. е. путем умножения на соответствующие коэффициенты добиваются выполнения условия:
