Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яворский Б.М. -> "Справочник по физике для инженеров и студентов" -> 215

Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.

Яворский Б.М. , Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов — М.: Оникс, 2006. — 1056 c.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpofizike2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 209 210 211 212 213 214 < 215 > 216 217 218 219 220 221 .. 307 >> Следующая


п т

где {Н M }тп = JfiY, (MmkHkn - HmkMkn) — матрич-

к

ный элемент квантовой скобки Пуассона. Матричный элемент оператора равен at

f dM ^ _ ЭМт„ <> XV,

IdrL-TT+{Н-М}»--

8°. Уравнение Шрёдингера можно записать в матричной форме, пользуясь разложением Т-функции по

/\

собственным функциям какого-либо оператора M . В случае дискретного спектра собственных значений этого оператора ?) = ^ an(t)4*n(x)f и уравнение Шрёдин-

п

гера имеет вид

ih4? = S H-nrfln ("» = 1. 2, ...),

Tl

<• * XS.

где Hmn = ціт (дс) H \\гп(х)йх — матричный элемент оператора Гамильтона в M-представлении. В частности, в ^-представлении

Ч»(*. t) = YjCnVYVn(X), Hmn = EnSmn, и уравнение Шрёдингера имеет вид

ih4r = ОТКУЛа Cm(0 ” exp [- lEjfL j .

х\

Если оператор M не зависит явно от времени, то в В-представлении, согласно п. 7°,

M

тп ±v±mnf

^Em-En

где Mmn = ¦---- — воровская круговая частота.
764 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ. МЕХАНИКИ

Глава 2

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

1°. В классической механике потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора частицы массой т, колеблющейся с циклической частотой ю0 вдоль оси х под действием квазиупругой силы, равна

U(X) = ^ *2.

Соответственно, стационарное уравнение Шрёдингера для собственных волновых функций и собственных значений E гамильтониана осциллятора имеет вид

+^(E-n^ х^(х) = О,

QXd Tl* *

+(X- = о,

d

где ? = — , X0 = /-A- и

х0 и /Jmco0. йш0

Это уравнение имеет непрерывные решения во всей

области изменения E1 ОТ до +°° только при условии,

что безразмерный коэффициент X принимает значения

Xn = 2п + 1, где п = 0, 1, 2, ... .

2°. Собственные значения энергий осциллятора равны

En=ha0[n+ Ї ).

Рис. VI.2.1

Число п, определяющее

5 номер энергетического уров-

2 — 2 ftaiO ня осциллятора, называют квантовым числом. На рис. VI. 2.1 изображены график функции U(x) осциллятора и схема дискретных энергетических уровней En. Наи-
VI.2.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

765

меньшую энергию, которую может иметь осциллятор,

7? ЙС00 - - TT

Lq = называют нулевой энергией. Нулевая энергия — наименьшая энергия осциллятора, совместимая с соот-ношением неопределеннотей Axhpx > ^. Нулевой энергии соответствуют нулевые колебания.

3°. Собственная нормированная функция l(/n осциллятора, соответствующая состоянию с энергией En,

V„(?)= Н„(?)ехр(-|! ]

л/2nn'.Jn к z }

V„(*) = J= V„(4).

JxO

где' H11(Fs) — полиномы Эрмита п-го порядка:

H Jt,) = (- 1)"е^ е^2.

Четность функций уп(?) и Ж„(л:) совпадает с четностью квантового числа п.

Для п —0,1,2:

V0(X) =

Jx0 Jn

ехр

2x1)

Vi(*):

1 ^exp

— ------ -- ----------— ,

J2X0 Jtl xO I 2х0 J

XV2(X) =

JSx0Jn

f 4 X2 9] / ч I *2 I
— ~2 V xO J ехр , 2х0 ,

Число узлов функции 1|/п, т. е. ее значений, равных нулю, равно квантовому число п.

4°. В классической механике статистическому ансамблю одинаковых одномерных осцилляторов можно сопо-
766 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ

ставить плотность вероятности ркл(ж) нахождения осциллятора на расстоянии х от положения равновесия, равную

^nJa2 - X2 j при \х\ < а,

где а ¦ а)

Ркл(*) = ¦ амплитуда колебаний.

IvoWl2 Ркл(*)
,1 >1 ;¦ Il w jI
,1 / 1 ' / I U \ I1 \ '1 V і
I у 1A- /1 /1 V |\ I N4
-а0( -) а0 *
I VioW 12 Ркл(*)

О при \х\ > а,

В квантовой механике ркв п(х) = Iv0(X)I2-На рис. VI. 2.2, а показаны для сравнения графики Ркв(*) — — \щ(х)\2 осциллятора, находящегося в состоянии п = 0, и ркл(х)



1O

при

рис

Clri

На

тсо0

VI.2.2, б показаны графики Iv10 (л;)|2 и , ч /21А

Pkji^ при O10=J--

В квантовой механике отлична от нуля вероятность найти частицу при IjcI > а, т. е. в области классической недоступности, где потенциальная энергия частицы больше ее полной энергии. Это не нарушает закона сохранения энергии, ибо кинетическая и потенциальная энергии не могут быть точно измерены одновременно.

5°. Модель линейного гармонического осциллятора широко используется в приложениях. Подходящим выбором координат («нормальные координаты») движение механической системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению совокупности независимых гармонических осцилляторов.

2. РОТАТОР

1°. Ротатором называют частицу массой т., которая совершает плоское движение, оставаясь на одном и том же расстоянии г от неподвижного центра О. В клас-
VI.2.2. РОТАТОР

767

сической механике частица движется вокруг точки О по окружности радиусом г, плоскость которой перпендикулярна вектору L момента импульса частицы относительно центра О. Энергия ротатора E в отсутствие внешних сил (потенциальная энергия U = O) равна его

Y ? т 2

кинетической энергии: E = —— = =- , где J = тг2 —

2 mr2 2 J

момент инерции ротатора.

2°. При квантовомезіалическом рассмотрении гамильтониан ротатора

<> = L2 __.fi2 .

2J 2J ’ ф’
Предыдущая << 1 .. 209 210 211 212 213 214 < 215 > 216 217 218 219 220 221 .. 307 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed