Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
п т
где {Н M }тп = JfiY, (MmkHkn - HmkMkn) — матрич-
к
ный элемент квантовой скобки Пуассона. Матричный элемент оператора равен at
f dM ^ _ ЭМт„ <> XV,
IdrL-TT+{Н-М}»--
8°. Уравнение Шрёдингера можно записать в матричной форме, пользуясь разложением Т-функции по
/\
собственным функциям какого-либо оператора M . В случае дискретного спектра собственных значений этого оператора ?) = ^ an(t)4*n(x)f и уравнение Шрёдин-
п
гера имеет вид
ih4? = S H-nrfln ("» = 1. 2, ...),
Tl
<• * XS.
где Hmn = ціт (дс) H \\гп(х)йх — матричный элемент оператора Гамильтона в M-представлении. В частности, в ^-представлении
Ч»(*. t) = YjCnVYVn(X), Hmn = EnSmn, и уравнение Шрёдингера имеет вид
ih4r = ОТКУЛа Cm(0 ” exp [- lEjfL j .
х\
Если оператор M не зависит явно от времени, то в В-представлении, согласно п. 7°,
M
тп ±v±mnf
^Em-En
где Mmn = ¦---- — воровская круговая частота.
764 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ. МЕХАНИКИ
Глава 2
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
1°. В классической механике потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора частицы массой т, колеблющейся с циклической частотой ю0 вдоль оси х под действием квазиупругой силы, равна
U(X) = ^ *2.
Соответственно, стационарное уравнение Шрёдингера для собственных волновых функций и собственных значений E гамильтониана осциллятора имеет вид
+^(E-n^ х^(х) = О,
QXd Tl* *
+(X- = о,
d
где ? = — , X0 = /-A- и
х0 и /Jmco0. йш0
Это уравнение имеет непрерывные решения во всей
области изменения E1 ОТ до +°° только при условии,
что безразмерный коэффициент X принимает значения
Xn = 2п + 1, где п = 0, 1, 2, ... .
2°. Собственные значения энергий осциллятора равны
En=ha0[n+ Ї ).
Рис. VI.2.1
Число п, определяющее
5 номер энергетического уров-
2 — 2 ftaiO ня осциллятора, называют квантовым числом. На рис. VI. 2.1 изображены график функции U(x) осциллятора и схема дискретных энергетических уровней En. Наи-
VI.2.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
765
меньшую энергию, которую может иметь осциллятор,
7? ЙС00 - - TT
Lq = называют нулевой энергией. Нулевая энергия — наименьшая энергия осциллятора, совместимая с соот-ношением неопределеннотей Axhpx > ^. Нулевой энергии соответствуют нулевые колебания.
3°. Собственная нормированная функция l(/n осциллятора, соответствующая состоянию с энергией En,
V„(?)= Н„(?)ехр(-|! ]
л/2nn'.Jn к z }
V„(*) = J= V„(4).
JxO
где' H11(Fs) — полиномы Эрмита п-го порядка:
H Jt,) = (- 1)"е^ е^2.
Четность функций уп(?) и Ж„(л:) совпадает с четностью квантового числа п.
Для п —0,1,2:
V0(X) =
Jx0 Jn
ехр
2x1)
Vi(*):
1 ^exp
— ------ -- ----------— ,
J2X0 Jtl xO I 2х0 J
XV2(X) =
JSx0Jn
f 4 X2 9] / ч I *2 I
— ~2 V xO J ехр , 2х0 ,
Число узлов функции 1|/п, т. е. ее значений, равных нулю, равно квантовому число п.
4°. В классической механике статистическому ансамблю одинаковых одномерных осцилляторов можно сопо-
766 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
ставить плотность вероятности ркл(ж) нахождения осциллятора на расстоянии х от положения равновесия, равную
^nJa2 - X2 j при \х\ < а,
где а ¦ а)
Ркл(*) = ¦ амплитуда колебаний.
IvoWl2 Ркл(*)
,1 >1 ;¦ Il w jI
,1 / 1 ' / I U \ I1 \ '1 V і
I у 1A- /1 /1 V |\ I N4
-а0( -) а0 *
I VioW 12 Ркл(*)
О при \х\ > а,
В квантовой механике ркв п(х) = Iv0(X)I2-На рис. VI. 2.2, а показаны для сравнения графики Ркв(*) — — \щ(х)\2 осциллятора, находящегося в состоянии п = 0, и ркл(х)
~И
1O
при
рис
Clri
На
тсо0
VI.2.2, б показаны графики Iv10 (л;)|2 и , ч /21А
Pkji^ при O10=J--
В квантовой механике отлична от нуля вероятность найти частицу при IjcI > а, т. е. в области классической недоступности, где потенциальная энергия частицы больше ее полной энергии. Это не нарушает закона сохранения энергии, ибо кинетическая и потенциальная энергии не могут быть точно измерены одновременно.
5°. Модель линейного гармонического осциллятора широко используется в приложениях. Подходящим выбором координат («нормальные координаты») движение механической системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению совокупности независимых гармонических осцилляторов.
2. РОТАТОР
1°. Ротатором называют частицу массой т., которая совершает плоское движение, оставаясь на одном и том же расстоянии г от неподвижного центра О. В клас-
VI.2.2. РОТАТОР
767
сической механике частица движется вокруг точки О по окружности радиусом г, плоскость которой перпендикулярна вектору L момента импульса частицы относительно центра О. Энергия ротатора E в отсутствие внешних сил (потенциальная энергия U = O) равна его
Y ? т 2
кинетической энергии: E = —— = =- , где J = тг2 —
2 mr2 2 J
момент инерции ротатора.
2°. При квантовомезіалическом рассмотрении гамильтониан ротатора
<> = L2 __.fi2 .
2J 2J ’ ф’