Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
I — целое, неотрицательное число.
Следовательно, квадрат модуля момента импульса частицы может принимать только следующие дискретные значения (квантование квадрата модуля момента импульса)-.
L2 = h2 1(1 + 1),
где Z = 0, 1, 2, ... . ,
Каждому значению I соответствует (21 + 1) решений —
собственных функций оператора L , которые представляют собой сферические функции
Y<m(0, Ф) = р]Ґ (cos 0) exp[im ф],
где т — целое число, принимающее значения: т = 0, ±1 , ±2, ±1 [всего (21 + 1) значений], \т\ — модуль
числа т, а
т і і
її 77 j ImI
р"1©-(1-?2 р,К).
Здесь Е, = cos 0, Р|Ю — полиномы Лежандра: di;'
752 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
Коэффициент перед P1 в формуле для Ylm(B, ф) выбран так, что функция Ylm нормирована к 1 на поверхности шара единичного радиуса:
Tl 2П
J J YlmY*lmsInOdOdv=I.
О о
Функции Ylm являются также собственными функ-циями оператора Lz :
Ч Ylm = rnhYlm,
/ч
т. е. проекция момента импульса L2 тоже квантуется по закону:
Lz — mh (т = 0, ±1, ±2, ... , ±?).
6°. Кинетическая энергия T частицы в классической механике равна 2
T = P 2т *
где р — импульс частицы, а т — ее масса.
Оператор кинетической энергии в квантовой механике:
т = ні =-*і у2 = -*ід,
2m 2m 2m
где A — оператор Лапласа.
Операторы кинетической энергии и проекций импульса коммутируют между собой. Поэтому кинетическая энергия и проекция импульса на какую-либо ось координат могут быть точно измерены одновременно. Собственные функции оператора кинетической энергии находятся
из уравнения: ТЧ* = TnP. Ему удовлетворяет функция, представляющая собой плоскую волну де Бройля:
ЧЧ*, У, г) = A ехр [ і Iрхх + руУ + pzz)] ,
2 2 2 где А = const, рх + ру + рг = 2тТ.
7°. Оператор U потенциальной энергии, являющейся функцией координат, равен самой этой функции U:
UV=UV.
VI.1.5. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
753
В классической механике полная механическая энергия консервативной системы T + U = H — функция Гамильтона этой системы. В квантовой механике функции Гамильтона сопоставляют оператор Гамильтона
{гамильтониан) H.
Гамильтониан частицы массой т с электрическим зарядом q, взаимодействующей с электромагнитным полем, имеет вид
H = J- (р - qA)2 + дф,
Ct TtX
где А — векторный потенциал электромагнитного поля, ф — склярный потенциал поля.
5. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
1°. В квантовой механике постулируется, что при движении частицы во внешнем силовом поле 'F-функция частицы изменяется по следующему закону:
= HT.
St
Это уравнение называют общим уравнением Шрёдингера (или временным уравнением Шрёдин-гера). Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики, а его справедливость подтверждается совпадением с опытными данными тех следствий, которые из него вытекают. Уравнение Шрёдингера выражает принцип причинности в квантовой механике, так как позволяет, если известны Т-функция частицы в начальный момент времени t = 0 и силовое поле, в котором движется частица, найти Т-функцию частицы в последующие моменты времени.
2°. Уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле U (г, t) имеет вид:
ih~ = -Jt AT + Щг, t) Т.
Sf 2т
Функция T (г, t) должна удовлетворять следующим трем условиям:
1) должна быть непрерывной и конечной,
ЭТ йТ BxF
2) ее частные производные и долж-
Ojc ay dz ot
ны быть непрерывны,
754 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
3) функция |Ч'|2 должна быть интегрируема во всей области определения объема V, т. е. интеграл J |T|2dV^
V
должен быть конечным (равным 1 для нормированной Т-функции).
3°. Если нет переменных внешних полей, TO^ =0,
Ot
и потенциальная функция U = U(г). В этом случае путем разделения переменных T(r, t) = f(t)\\i(r) уравнение Шрё-дингера приводится к двум уравнениям:
ifM = Ef
St
и
H \|/(г) = Еу(г),
где E — постоянная разделения, имеющая размерность энергии (собственное значение энергии).
Решение первого уравнения имеет вид:
• /(i) = expf-i|tj.
Второе уравнение называют стационарным уравнением Шрёдингера. Оно представляет собой уравнение для нахождения собственных функций и собственных значений гамильтониана частицы, которое записывается в развернутом виде:
Дх|/+ ?m [Е -?7(г)]ч/ = 0.
Й2
В зависимости от вида функции U(г) решения стационарного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие математическим требованиям, накладываемым на Т-функцию, можно получить:
а) при непрерывных значениях энергии E частицы (сплошной энергетический спектр),
б) при определенных (квантованных) значениях E1, E2, ... (дискретный энергетический спектр),
в) при непрерывных значениях E в одной области поля и при дискретных — в другой.
При указанном выборе функции f(t) координатная функция \|/(г) должна удовлетворять условию нормировки (1.1).
VI.1.6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 755
4°. Из общего уравнения Шрёдингера следует, что плотность вероятности ()w = vFvF* = |Ч'|2 удовлетворяет уравнению неразрывности
