Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
|=+divi = 0,
где j = (vFVT* - 'IyaVH') — вектор плотности пото-
2 Ttx
ка вероятности.
5°. Волновая функция Ч'(г, t), описывающая произвольное состояние микрочастицы, гамильтониан которой не зависит явно от времени, может быть представлена в виде суперпозиции полного набора волновых функций стационарных состояний. В случае дискретных состояний:
Т(г, <) = X с"Ч'п(г’ = E cn'?n(T)e*v{-i1^ ) ,
п п
где Cn — постоянные коэффициенты, Тн(г) — волновые функции стационарных состояний, являющиеся решениями стационарного уравнения Шрёдингера, En — собственные значения, образующие энергетический спектр состояния частицы. Суммирование производится по всем стационарным состояниям. Отыскание спектра собственных значений энергии частицы является важнейшей задачей квантовой механики.
6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
1°. Среднее значение (M) в момент времени t какой-либо величины M частицы равно
<.M(t)> = jV(r, t) M >F(r, t) dt,
где Т(г, I) — нормированная волновая функция частицы, dt = dxdydz, и интегрирование проводится по всей области изменения координат. Найдем производную по времени от среднего значения динамической переменной:
756 VI.1 ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
Из общего уравнения Шрёдингера следует, что
= ^HT и ^ =-1н*ч<*.
St ih St ih
Поэтому
d<M> =-1 f(H*T*)(MT)dt + dt in J
+ г ^dx + 1 г ?H7dT.
J St ih J
?"ч
Оператор H — самосопряженный, так что J (H*T*)(MT)dT = jT*HMTdT
И
й<М1 =J +{Н, M}^TdT,
/\ /\ •
где {H , M} — оператор, называемый квантовой скобкой Пуассона и равный
А /\ 1 /X А /ч /\
{Н, М} = i(MH-HM).
2°. Дифференцированию по времени динамической переменной M соответствует оператор:
dM _ SM + {н, М}. dt St
Следовательно,
^ =<^> + <{Н, М}>,
т. е. производная по времени от среднего равна среднему от производной по времени. Если переменная M яв-
но от времени не зависит, то ) = 0 и = {Н , M},
dt dt
^ = ({Н , M }).
VI.1.6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 757
3°. Координаты и проекции импульса частицы не зависят явно от времени и удовлетворяют следующим квантовым уравнениям движения:
g={H, 5?} = ^, = {н,у}=Е*,
at т at т
®-<й,*}-?*.
dt m
dPi-Tfi1 ft I _ Эи dPs, _ ,<> * I _ SU
"dF
dP* _/G - ,__Эи
"df" -<Н'Р.>- зї-
где те — масса частицы, її — оператор потенциальной энергии.
Эти соотношения между операторами соответствуют теореме Эренфеста: средние значения механических величин подчиняются законам классической механики. Следовательно, можно записать:
Iv \ = dM = Д<У> - W
К х' dt т ’К «' dt т ’
dPz = _/dU Ч = /р Ч
dt 'Эг' ' г'*
где (F1), (JP ), (Fz) — средние значения проекций силы, действующей на частицу в поле U.
4°. В квантовой механике так же, как и в классической, выполняются законы сохранения импульса,
момента импульса и энергии, но формулируются они
несколько иначе. Величина M будет интегралом движения, т. е. ее среднее значение (M) не будет изменяться с течением времени С = О j , если оператор диф-
А,
ференцирования M по времени t равен нулю:
758 Vl 1 ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ. МЕХАНИКУ
/\
Таким образом, величина M , не зависящая явно от
А
времени ^ s 0 j , является интегралом движения
/\
только в том случае, если ее оператор M коммутирует
с оператором Гамильтона H .
5°. Оператор Гамильтона свободной частицы ( U =0) равен
H =T = ^(р2 + P2 +Pf)
И
{Н, Р.Л = {Й, Pj,} = {H, р2} = 0.
Поэтому —!-f = = —!-? = Ё5 = 0 и (р) = const, т. е.
A t At dt At
импульс свободной частицы, как и ее энергия, является интегралом движения.
6°. Оператор Гамильтона частицы, движущейся в поле центральных сил (U = Щг), г — расстояние от центра сил), удобно выражать в сферических координатах:
( Afr2A ) -AetpI +I7(r)= T + J±— +U{r), 2mr2 V Эг V Эг J w г 2тг2
где Ae ф — угловая часть оператора Лапласа. Так как
операторы Lx , Ly , L2 и L2 зависят только от переменных 0 и ф и не действуют на функции от г, то
/\ А /\ А /'Ч
{Н, LX} = {H, Ц} = {Н, LJ = {Н, L2I = O
и
(L) = const,
т. е. момент импульса частицы в поле центральных сил является интегралом движения.
7°. Условия сохранения полной энергии частицы:
^h = ^ = «/s0ii<h> = congt
At dt dt
т. е. полная энергия частицы в поле сил, не зависящих от времени, является интегралом движения.
H =-
VI.1 7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
759
7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
1°. В квантовой механике используют различные способы представления состояния частицы и операторов ее динамических переменных. Описание состояния посредством Т-функции, зависящей от координат и времени T = T(r, t), называют координатным представлением (в дальнейшем, ради простоты, используется обозначение T (х, t) — ^-представление). В этом случае квадрат модуля нормированной пси-функции частицы равен плотности вероятности обнаружения частицы в момент времени t в рассматриваемой точке пространства с координатами х, у, г.
Если за основу определения состояния частицы взять
