Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим волновод с произвольным поперечным сечением (рис. 11.1). Ось волновода выбрана в направлении координаты z, а временная зависимость предполагается в виде е""'. Тогда уравнения Максвелла можно записать в виде
VXH = ше0и2Е,
(11.1.1)
VXE= -iufi0H,
(11.1.2) 440
Глава 10
где п _ распределение показателя преломления диэлектрической структуры, зависящее только от х и у (т. е. дпZdz = 0). Поскольку диэлектрическая структура однородна вдоль оси г, решения волновых уравнений (11.1.1) и (11.1.2) будем искать в виде
где ? — постоянная распространения, определяемая из уравнений Максвелла. Мы ограничимся рассмотрением диэлектрических структур, которые состоят из кусков однородных и изотропных материалов, или материалов с небольшим градиентом показателя преломления. Тогда волновые уравнения сводятся к (1.4.9). Подставляя выражение (11.1.3а) для E в уравнение (1.4.9), получаем
где Vj = V2 - d2/dz2 — оператор поперечного лапласиана. Уравнение (11.1.4) определяет поведение поля в поперечном направлении. В случае кусочно-однородной диэлектрической структуры уравнение (11.1.4) справедливо отдельно в каждой из однородных областей. Следовательно, поле должно быть найдено отдельно в каждой области, а затем тангенциальные составляющие полей необходимо сшить на каждой из границ раздела. Другим важным граничным условием для волноводных мод является равенство нулю амплитуды полей на бесконечности. Для выполнения граничных условий во всех точках границ раздела однородных сред параксиальная постоянная распространения ? должна быть одинаковой во всей волно-водной структуре.
Основной задачей при этом является нахождение решения характеристического уравнения (11.1.4), удовлетворяющего условиям непрерывности тангенциальных составляющих полей на диэлектрических поверхностях раздела и граничным условиям на бесконечности. Для данного профиля показателя преломления п2(х, у) существует, вообще говоря, бесконечное число собственных значений ?2, соответствующих бесконечному числу мод. Однако лишь конечное число этих мод обычно удерживается вблизи сердцевины и беспрепятственно распространяется вдоль волновода. Одним из необходимых условий существования волноводной моды является отсутствие потока энергии в поперечном направлении, что эквивалентно
E = &(х, j)exp[/((of - ?z)], H = 9С(х, j)expO(wf - ?z)],
(11.1.3а) (11.1.36)
(11.1.4) Направляемые волны и интегральная оптика
441
экспоненциальному уменьшению полей вне волноводной структуры. Следовательно, величина (ш2/с2)п2 — ?2 должна быть отрицательной вдали от волноводной области (сердцевины). Иными словами, постоянная распространения ? направляемой моды должна удовлетворять условию
W2
?2>—n2(co), (11.1.5)
с
где п2(оо) — показатель преломления на бесконечности (Vx2 + у2 —• — оо). Однако, если поля обращаются в нуль на бесконечности (т. е. I?"(00)12 = 0), из условия непрерывности полей следует, что амплитуда поля \Е(х, у)I должна иметь максимальное значение в некоторой точке плоскости ху. Обычно Е(х, у) является гладкой функцией пространственных координат. Существование максимума требует, чтобы лапласиан поля был отрицательной величиной. Иными словами, постоянная распространения ? направляемой моды в некоторой области ху (обычно в сердцевине) должна удовлетворять неравенству
?2<^n2(x,y). (11.1.6)
с
В частности, если пс — максимальное значение показателя преломления п(х, у), то постоянная распространения направляемой моды в любом случае должна удовлетворять следующему условию:
?2<^n2c. (11.1.7)
с
В области, в которой выполняется условие (11.1.6), решения волнового уравнения (11.1.4) являются осциллирующими. Эти осциллирующие решения должны быть согласованы с экспоненциальными решениями на поверхностях раздела диэлектрической структуры. Следовательно, не все значения ?, удовлетворяющие условиям (11.1.7) и (11.1.5), представляют собой допустимые собственные значения направляемых мод. Это будет проиллюстрировано ниже при исследовании мод планарного волновода. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые основные свойства волноводных мод. і 442
Глава 5
11.1.1. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ МОД
Волноводные моды произвольной диэлектрической структуры обладают важным и полезным свойством ортогональности. Пусть поля Ep H1 и E2, H2 представляют собой два линейно независимых решения уравнений Максвелла (11.1.1) и (11.1.2). Так как в диэлектрической волноводной структуре источники отсутствуют, имеет место следующее уравнение:
V(E1XH2-E2XH1) = O. (11.1.8)
Уравнение (11.1.8) известно как теорема Лоренца и справедливо при условии, что ?И(і являются симметричными тензорами.
Если заменить оператор V на Vr + aZd/dz и предположить, что поля E1, H1, E2 и H2 записываются в виде (11.1.3а) и (11.1.36) с постоянными распространения /3, и ?2 соответственно, то уравнение (11.1.8) принимает вид
V, '(E1 X H2 - E2 X H1) - i(?, + ?2)»z' (E1 X H2 - E2 X H1) = 0,
(11.1.9)
где Vr — поперечный градиентный оператор, и аг — единичный вектор вдоль оси Z- Используя двумерную форму теоремы дивергенции, получаем
