Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
J j V1 -(E1 XH2-E2XH1Jde-
= ^ (E1 X H2 - E2 X H1)- ndl =
= i{?i + ?z)/f (E1 X H2-E2 X H1)-а,Л», (11.1.10)
где S — произвольная поверхность в плоскости ху, С — граница поверхности S, an — единичный вектор, перпендикулярный кривой С и вектору а,. Если в качестве S выбрать всю плоскость ху, то в уравнении (11.1.10) контурный интеграл исчезает, поскольку поля на бесконечности обращаются в нуль. Таким образом, получаем
(?i +&)//(E1 X H2 - E2 X Н,)«а,<4» = 0. (11.1.11) Направляемые волны и интегральная оптика
443
Подстановка выражений (11.1.3а) и (11.1.36) для E и H в (11.1.11)
дает
(0! + ?2)j/(S1 xOC2-S2xOC,)-a^a = 0. (11.1.12)
Здесь общие экспоненциальные члены можно опустить. Чтобы показать, что в выражении (11.1.12) каждый член обращается в нуль по отдельности, рассмотрим два решения E1, H1 и E2', H2, где решение E2', H2 является зеркальным преобразованием решения E2, H2 относительно плоскости z=0. Благодаря симметрии структуры преобразования мода также является решением уравнений Максвелла (11.1.1) и (11.1.2). Это зеркальное преобразование соответствует обращению направления распространения. Поэтому направления продольного электрического и поперечного магнитного полей также обращаются, т. е.
Е'2, = S2,exp[i(Wf + ?2z)],
eL = -б2гехр[/(м/ + ?2z)],
Н'2,= - SC2,ехр[,+ (11Л-13)
&b = X2lsxp[i(u/ + M],
где индекс t означает поперечную компоненту. Так как лишь поперечные компоненты поля дают вклад в интегралы (11.1.11) и (11.1.12), уравнение, соответствующее (11.1.12), в этом случае принимает вид
(?\ - ?i)//("бі X OC2 - S2 X OC1) -a2da = 0. (11.1.14)
Сложение и вычитание выражений (11.1.12) и (11.1.14) дает //(S1 X OC2)-a zda = / J (S2 X 1X1)' аг da = 0. (11.1.15)
При отсутствии потерь (т. е. є и (Л являются вещественными тензорами) аналогичный вывод приводит к уравнению
//(S1 XOC2*)- аг da= / /(S2* х OC1) • a2da = 0. і 444 Глава 5
Включив зависимости от времени и от z, условие ортогональности можно записать в виде
JjE,xH*2-azda = 0, (11.1.16)
где H2* — вектор, комплексно-сопряженный с H2. Из этого условия следует, что поток мощности в диэлектрическом волноводе без потерь равен сумме мощностей, переносимых каждой модой по отдельности. Если мощность каждой моды нормирована на величину 1 Вт, то условие ортогональности мод можно записать следующим образом:
j J j(E,X И*)- az da = Slm, (11.1.17)
где I, т — модовые индексы, а Ь1т — символ Кронекера. Для поперечных электрических (ТЕ) или поперечных магнитных (TM) мод условие ортогональности (11.1.17) принимает вид (см. задачи 11.3 и 11.4)
J JEr Е*т da = Slm (ТЕ),
А.
2 Uft
(11.1.18)
?/Jnr '-Hlda = Slm (ТМ).
11.1.2. ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ
В диэлектрических волноводах без потерь каждая мода переносит энергию и распространяется вдоль волновода независимо от наличия других мод. Это видно из условия ортогональности мод (11.1.17). Переносимая мощность определяется вещественной частью интеграла от комплексного вектора Пойнтинга по всей плоскости jfv. Вследствие ортогональности мы можем рассматривать распространение мощности одной моды. Для данной моды мощность, усредненная по времени, дается выражением
P = |Re JJe x Н* • a2da. (11.1.19а)
Энергия поля моды на единицу длины волновода запишется в виде U= ^J J(E • єЕ* + H • /хН») da, (11.1.196) Направляемые волны и интегральная оптика
445
где мы предполагаем, что еиц — вещественные величины, так что подынтегральное выражение также является вещественным. Поскольку уравнения Максвелла линейны, поток мощности P и плотность энергии U пропорциональны друг другу. Постоянная пропорциональности имеет размерность скорости и называется скоростью распространения энергии:
ve = P/U. (11.1.20)
Можно показать, что эта скорость равна групповой скорости, которая определяется как
Vg = du/d?. (11.1.21)
В диэлектрических волноводах постоянная распространения ? для каждой моды является функцией частоты со. При распространении в волноводе импульса света с конечной шириной полосы частот бсо возможен случай, когда мощность каждой спектральной компоненты переносится только одной модой. Если o? есть соответствующий разброс постоянных распространения моды, то скорость распространения импульса дается выражением (11.1.21).
Для доказательства того, что скорость Ve равна групповой скорости vg, рассмотрим уравнения Максвелла (11.1.1) и (11.1.2) [или в более общей записи уравнения (6.7.10) и (6.7.11)], в которые вместо оператора V подставим V( + aZd/dz. Таким образом, мы имеем
следующие уравнения: ?
V, X H + az X -^-H = iueЕ,
2 (11.1.22)
V, X E + az X j^E = -гы/Ш,
где, как и прежде, az — единичный вектор вдоль оси волновода. Так как зависимость мод от z имеет вид, определяемый выражениями (11.1.3а) и (11.1.36), уравнения (11.1.22) можно записать в виде
V, X H - i?az XH = /ыеЕ,
(11.1.23)
V, X E - i?az X E = - іw/Ш.
Предположим теперь, что ? изменяется на бесконечно малую величину o?. Если бсо, 6Е и 6Н являются изменениями величин со, E и H соответственно, то, следуя рассуждениям, приведенным в разд. 6.7, і 446
