Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
б) При распаде ядра радия испускается а-частица. При ее падении на экран из сернистого цинка возникает световая вспышка (сцинтилляция), что позволяет непосредственно подсчитать число а-частиц, испущенных 1 г радия’ за 1 с. Это число, впервые определенное Гессом и Лоусоном, равно 3,72-lO10. Атомная масса радия равна 226. Воспользовавшись этими цифрами, определите период полураспада радия. (Измерения с радиоактивными веществами были использованы для независимого определения постоянной Авогадро. В приведенной задаче процедура обратная — зная постоянную Авогадро, мы определяем период полураспада радия.)
3. Движущиеся элементы ручных часов весьма «малы». Сделав разумные оценки физических параметров для «типичных» ручных часов, покажите на основании общего критерия, данного в п. 20, что квантовая механика не имеет отношения к искусству изготовления часов.
4. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью 100 пФ и индуктивности 0,1 мГн. Допустим, что в цепи существуют колебания и максимальная разность потенциалов на емкости равна 1 мВ. Найдите «естественную» физическую переменную с размерностью действия и сравните ее значение с постоянной Планка h.
48
5. Антенна радиостанции излучает радиоволны на частоте 1 МГц при мощности 1 кВт. Чему равно число фотонов, испускаемых за 1 с? Это число объясняет, почему квантовая природа электромагнитного излучения антенны непосредственно не обнаруживается. Данная задача, а также две предыдущие (3 и 4) кажутся нелепыми» столь огромно соответствующее число фотонов. В дальнейшем мы не будем пытаться применять квантовую механику к очевидно макроскопическим задачам. Все же полезно хоть один раз решить подобную задачу и ощутить несоизмеримость макро- и микромасштабов.
6. Утверждение, что электромагнитное излучение распространяется пакетами с энергией hv, где v — частота, не находится в противоречии со «здравым смыс~ лом» (т. е. с тем, чег мы ожидаем на основании опыта, приобретенного с макроскопическими явлениями). Чтобы показать это, вычислите число фотонов, испущенных за 1 с источником с силой света 1 кд. Допустим для простоты, что испускается желтый свет с длиной волны 5600 А. Мощность источника с силой света 1 кд близка к 0,01 Вт.
Допустим, что источник света изотропен, а наблюдатель удален на расстояние 100 м. Вычислите число фотонов, попадающих в глаз наблюдателя за 1 с, если диаметр входного зрачка глаза равен 4 мм. Число фотонов столь велико, что мы не заметим никакого «мерцания», даже если энергия светового потока, падающего на глаз, мала в макроскопическом смысле.
7. Мы знаем, что звезды «мерцают». Чтобы выяснить, может ли это мерцание быть проявлением квантовой природы света, оцените число фотонов видимого света, попадающих в глаз наблюдателя, когда он смотрит на звезду первой величины (в видимом свете). Поток энергии, создаваемый такой звездой на поверхности Земли, близок к,10~6 лм/м2. Один люмен при длине волны максимальной «видности»., равной 5560 А, соответствует мощности 1,6 мВт. Звезды первой величины кажутся весьма яркими, ясно видимыми невооруженным глазом, хотя они и не принадлежат к очень ярким звездам. Примером является звезда Альдебаран.
Предположим, что за 1 с в глаз наблюдателя попадает N фотонов. Какова средняя флуктуация этой величины? Определите значение N и подумайте, как объяснить мерцание звезды. Почему мерцание планет слабее или вовсе отсутствует?
8. а) Обратимся к закону смещения Вина. Допустим, что излучатель является абсолютно черным телом при температуре 2500 К- Вычислите (в ангстремах) длину волны Я.шах, определяемую законом Вина. Находится ли она в видимой части спектра?
б) Получите закон смещения Вина из формулы Планка (39а).
в) Покажите на основании закона излучения Планка (39а), что полная мощность излучения абсолютно черного тела (просуммированная по всем частотам) пропорциональна четвертой степени температуры Т.
9. Делая обзор истории открытия закона Планка, мы отмечали, что, по Планку, гармонический осциллятор, колеблющийся с частотой v, может приобретать энергию лишь порциями, равными hv. Интересно увидеть связь между гипотезой Планка и гипотезой Бора, высказанной им для объяснения строения атома водорода, но имеющей общий характер.
Рассмотрим гармонический осциллятор, состоящий из массы и «пружины* жесткости К, который ведет себя в соответствии с гипотезой Планка. Это значит, что его энергия может меняться лишь на целые кратные величины hv, где v — частота осциллятора. Введем переменную действия
J =пд0р0,
где q0 — максимальное смещение точечной массы осциллятора, а р0 — ее максимальный импульс.
а) Напишите квантовое условие Бора для этого осциллятора.
б) Выразите полную энергию осциллятора через его текущую координату q(t) и импульс p(t) и постройте график зависимости р от q при заданной энергии.
в) При каком условии из квантового условия Бора следует гипотеза Планка? Это условие называется «правилом отбора» для гармонического осциллятора.
