Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
В более близкую к нам эпоху, находящуюся в пределах досягаемости оптических телескопов, постоянной интегрирования С, по-видимому, хотя и не наверняка, можно пренебречь, и поэтому § 4. Модели с переменной гравитационной постоянной 669
при больших со соотношения между кривизной, плотностью, возрастом Вселенной, постоянной Хаббла и параметром замедления почти те же самые, что и в моделях Фридмана. Например, в модели без давления и с нулевой кривизной из (16.4.28) —
^16.4.30) в пределе Z I Ze I получаем соотношения
^ = (16А38)
ft = (16.4.39)
AnG90 _(4 + 3a>)(4+2m) fi / 4m
H0* ~~ (2 + 2ШЯ ¦ K--I
При со = 6 эти три величины имеют значения 0,64; 0,57; 1,80, в то время как соответствующие значения в модели Фридмана с к = 0 равны 0,67; 0,50 и 1,50.
Несомненно, наиболее отличительной чертой теорий Дирака и Бранса — Дикке является убывание гравитационной постоянной G со временем. Из (16.4.35) получается следующее выражение для относительной скорости изменения G в настоящее время:
(А\ __/±\ - 8ltPotQ — , 8яСоРо*о /л P1AAU \в) о" \ Ф /О (2ш+3) Фо (2(0+4)' ^lu-- '
Вообще говоря, чтобы выразить р0 и Z0 через G0, H0 и q0, пришлось бы прибегать к численному решению дифференциальных уравнений (16.4.35) и (16.4.17). Однако если постоянная со достаточно велика (скажем, со >5), то скорость убывания G можно вычислить € довольно высокой точностью, используя в (16.4.41) в качестве р0 и Z0 значения, полученные в § 2 и 3 гл. 15 из уравнений Эйнштейна. Общее выражение для р0 в модели Фридмана имеет вид
^ = 7о- (16.4.42)
Значения H0t0 и соответствующие значения (GfG)0 в (16.4.41) сведены в табл. 16.1.
В особом случае к = 0, когда мы имеем аналитическое решение, формулы (16.4.18), (16.4.28) и (16.4.29) приводят к следующему «точному» результату:
H0
1 + 0)
и оцепки этой величины, приведенные в табл. 16.1, в этом случае на 12% ниже (при со = 6). Оценки в табл. 16.1 хорошо согласуются с «точными» результатами, вычисленными для к = —1 и со = 5 или © = 10 [39]. 670
Гл. Jtt>. Космология: иные модели
Таблица 16.1
Скорость убывания G в моделях Бранса — Дикке и в модели Дирака *
Модель 90 <оН0 (Ю = оо) (GZG)0
Бране — Дикке Cl 1 Sg0H0 со + 2
Бране — Дикке 1 2 2 3 со + 2
Бране — Дикке 1 т-1 1,71#0 <о + 2
Бране — Дикке >1 л 3,34#0У~%
2 1/?" со + 2
Дирак 2 1 3 -ЗЯ0
* Опенки для значений (C/G)o получены из уравнения (16.4.41) с использованием в качестве (о и Po результатов для модели Фридмана (т. е. ш = оо), при зтсм значение (о указано в третьей колонке, а значение Po берется из (!6.4.42).
При H0-1 = IO10 лет, 0,01 < q0 =C 1,0 и со = 6 табл. 16.1 дает относительную скорость убывания G от 4-Ю"13 до 2'IO-11 в год. В противоположность этому модель Дирака предсказывает значительно более быстрое убывание гравитационной «постоянной»: при H0"1 = IO10 лет G убывает на 3-Ю-10 в год.
Наилучший экспериментальный верхний предел современной скорости изменения G получается из анализа радиолокационных наблюдений Меркурия и Венеры [40]. Для планеты с круговой орбитой радиусом г и со скоростью v имеем Mq G = и2г, поэтому, если угловой момент mrv остается фиксированным, a G при этом меняется, то г и V изменяются как
(16.4.43)! а период обращения 2nr/v—как
(16.4.44)
Путем повторных сравнений периода обращения внутренних планет в 1966 —1969 гг. с измерением времени по атомным часам (ход которых не зависит от G) Шапиро и др. [40] установили верхний
г ----
_1_ G
2я —.
v
1
G2 § 4. Модели с переменной гравитационной постоянной
671
предел
|-|o<4.10-10 год.
Этого условия почти достаточно, чтобы исключить теорию Дирака, но оно слишком слабое, чтобы как-то ограничивать параметр взаимодействия Бранса — Дикке оз. Однако погрешность этих измерений (GIG)о убывает примерно как длительность наблюдений во времени в степени 5/2, поэтому следующие пять лет наблюдений
должны снизить верхнюю границу GIG до значения, ожидаемого в модели Бранса — Дикке, с q0 порядка единицы и аз = 6.
В перспективе есть еще возможность определить верхний предел скорости изменения G из анализа времени прохождения сигнала лазера, посланного от Земли к Луне и отраженного назад уголковыми отражателями, установленными на лунной поверхности экспедициями «Аполло» [41, 42]. Однако анализ этих наблюдений серьезно усложняется приливными явлениями, которые играют главную роль в динамике системы Земля — Луна. (К счастью, приливные эффекты не оказывают заметного воздействия на движения тех планет, которые изучаются Шапиро и др.)
Вариации G в течение последних нескольких тысячелетий, возможно, могут быть установлены при изучении исторических свидетельств о затмениях [43]. Полное солнечное затмение наблюдается в очень малой области земной поверхности, и поэтому данные о том, что определенное полное затмение наблюдалось в некотором конкретном месте, дают точную информацию об отношении длительности суток (которая слабо зависит от G) к длительности года и лунного месяца, меняющихся как G2. Кюро [44] и Дикке [45, 46] проанализировали пять затмений, имевших место между 1062 г. до н. э. и 71 г. н. э., и получили, что относительное удлинение земных суток при сравнении их с периодами обращения планет равно в среднем (15,9 ± 0,7) -10"11 в год. На длительность земных суток оказывает влияние ряд известных факторов [47]. в частности, приливное замедление, относительная величина которого составляет 23,5-10"11—25,6-IO-11 в год, и ускорение вследствие повышения уровня моря и изостатического восстановления геоида, равное 0,5-IO-11—3,0-10"11 в год. После этого остается иеобъясненное относительное сокращение суток от 4-Ю"11 до 10-10"11 в год. Поскольку по данным о затмениях измеряется длительность земных суток относительно периодов обращения планет, это кажущееся сокращение суток можно было бьт объяснить как замедление движения планет вследствие убывания G с относительной скоростью от 2 -10"11 до 5 -10"11 в год [см. (16.4.44)]. Однако данные по затмениям довольно неопределенны. (Где находился Архилох во время затмения в 648 г. до н. э. — на Паросе или на Тасосе?) Еще важнее то, что имеется много неопределенностей «72
