Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
V^Pv=Pf, PvP11=P2, V^Vtiv (Tnnj) = ^-Sij,
= SijSkl+SikSjl+ SilSjk
п (п + 2)
Здесь Tii - единичный вектор в n-мерном евклидовском пространстве, и усреднение проводится по всем телесным углам. Если в теории присутствуют дираковские поля, то, кроме (22.1), используются также следующие формулы для гамма-матриц:
tr Ylv = 2n/2 if" , tr 7^7 V = 2п/2 (т?" V - ^V + V?PVvX ) ,
304 = Ї (і-5) Р> P = Pnl" > (27-56)
и т.д. Однако если в вычислениях участвует матрица 75, то могут возникнуть трудности, так как эту матрицу не удается корректно продолжить на пространство произвольной размерности [33]. При вычислении произвольной диаграммы Фейнмана сначала вычисляются согласно правилам (27.56) следы произведений матриц Дирака, отвечающие внутренним фермионным линиям. В остающихся интегралах используется какая-либо параметризация, например, (27.35), позволяющая вычислить импульсные интегралы. При этом приходится использовать формулы типа (27.55). Дальнейшее вычисление интегралов по остающимся параметрам дает выражения, содержащие полюсы относительно переменной е. Наличие этих полюсов равносильно наличию логарифмических расходимостей в теории, устранение которых происходит путем введения соответствующих контрчленов.
Очень удобной является процедура перенормировки, которая называется схемой минимальных вычитаний. Согласно этой схеме регуляризация теории происходит просто при помощи отбрасывания полюсных членов во всех диаграммах. Остающиеся части диаграмм называются перенормированными. Выше было отмечено, что размерная регуляризация сохраняет симметрии теории в комплексной плоскости переменной п. Поэтому регуляризованные диаграммы в методе размерной регуляризации содержат в себе симметрии исходной теории. Последнее свойство, а также техническая простота метода размерной регуляризации делает этот метод наиболее эффективным вычислительным инструментом.
27.5. Выделение однопетлевых контрчленов
при помощи метода размерной регуляризации
Пусть фі(х) , і = 1, ..., s - набор вещественных скалярных полей в n-мерном кривом пространстве и действие для этих полей имеет вид
5= [
J v |У 1 \2у dx» дх"
- Фі Щ mV Фі } ¦ (27-57)
305 Будем рассматривать совокупность полей [ф, } как одно поле со значениями в s-мерном вещественном векторном пространстве, совокупность полей {Mij } и {N^ } как скалярное и векторное (в координатном пространстве) поля со значениями в пространстве вещественных SXS матриц. Будем предполагать, что
М*(х) = Af(I), (Nfi(X)Y =-Nli(X). (27.58)
Напомним, что верхний индекс t означает транспонирование. Легко увидеть, что в новых обозначениях действие (27.57) при условиях (27.58) переписывается в виде
S = j сіпх^\і\^дІІІ'[(д,-^)ф}і(дІ/ + ^)ф-1-фіХфУ
(27.59)
Здесь и далее мы пользуемся следующими обозначениями:
X = M - NflNli, Yfiv = Nvtll - Nlliv + N11 Nv -NvNfl. (27.60)
Очевидно, что действие (27.57) или (27.59) инвариантно относительно произвольных преобразований координат, то есть действие общековариантно. Из записи действия в виде (27.59) видно, что оно инвариантно относительно следующих калибровочных преобразований:
ф' = иф, N'? = U N? Ut + U ¦ Utfl, X1=UXUt. (27.61)
Здесь U(х) - произвольное скалярное поле со значениями в ортогональной группе SXS матриц:
Uf(x)U{x) = 1. (27.62)
Легко проверить, что при этих калибровочных преобразованиях
Y1liv = UYfivUt. (27.63)
Наша задача заключается в устранении расходимостей из амплитуды перехода (см. (27.42)):
(Ф"\Ф') = ^ j (expiS) IJ^1(I) = Iexpj-Itr In ,
(27.64)
306 вычисленной в кривом х-нространстве с метрическим тензором gfiu и комплексной размерностью п. Согласно (27.57) оператор второго порядка К в (27.64) имеет вид
K = VlJ\
—--— ./ITicC" JL + 2 Nf- — + MІ
A\g]dx"Vl919 dx"+ ^dxv+ '
(27.65)
Поскольку, как было выше показано, размерная регуляризация сохраняет все симметрии, кроме масштабной и киральной симме-трий, то расходящаяся (полюсная) часть величины trlnA' также является общековариантной и калибровочно инвариантной относительно калибровочных преобразований (27.61). Кроме того, интересующая нас расходящаяся часть является локальной величиной в ж-пространстве, построенной из полей д?v, Nfl, М. Локальность следует из того, что интересующие нас расходимости имеют место при больших импульсах. Эти факты, а также размерностные соображения, позволяют выписать общий вид возможного контрчлена, который оказывается весьма компактным:
Aj? = _VMtT I ai (X + a R)2 + а,2 Yfll, У" +
+ а3 R2 + а4 Rfiv Rliv + а5 Rfivxp } . (27.66)
Здесь а,- и а - некие вещественные числа, параметр є задается согласно (27.52), Rflvxp - тензор Римана, Rfiv - тензор Риччи и R- скалярная кривизна. Все слагаемые в правой части (27.66) имеют размерность плотности действия при п = 4 и инвариантны относительно указанных преобразований. Никаких других комбинаций из имеющихся в задаче полей с перечисленными свойствами не существует.
Вычисление шести чисел аг и а мы начнем со следующего общего замечания. Рассмотрим в четырехмерном римановом пространстве 4-форму (латинские индексы а, b, ... относятся к орто-нормированному базису):
