Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Фк = лДйка},,
286 <Р|к) = П (/ -?-5 ехР(-<ач)) (^cfc )(>/&?)•
(27.11)
Наша задача состоит в нахождении предела
\imU{t,-t) = S=l + iT. (27.12)
> OO
Если из S-матрицы выделить единицу, то остается амплитуда перехода ІТ, матричные элементы которой содержат всю информацию о рассеянии. Пусть к1} к2, ¦. ¦ - импульсы частиц начального состояния и PI,P2,... - импульсы частиц конечного состояния. Имеем
(Pi P2 ... \iT I kl к2,...) = (2тг)4 JW (J2 ki - Y^PJ ) iM(k< Pj)-
(27.13)
Здесь под J-функцией первая сумма обозначает сумму 4-импульсов начальных частиц, а вторая сумма - сумму 4-импульсов конечных частиц. J-функция в правой части (27.13) является следствием сохранения полного 4-импульса в задаче о рассеянии. Величина M в (27.13) является аналогом амплитуды рассеяния в нерелятивистской квантовой механике, вычисление которой проводится при помощи описанного выше разложения.
В первом порядке по константе связи согласно (27.2), (27.6), (27.7) и (27.12) имеем
,Т(1) = 4? / rf4^oH- (27.14)
При вычислении матричного элемента (р\р2 | к% к2 ) следует пользоваться голоморфным представлением. Согласно (26.81) при t —> —оо поле фо содержит лишь коэффициенты ак, а при t —>¦ +оо поле фо содержит только коэффициенты Поэтому с учетом формул (27.11) находим
гТ(!) = -4! J d4x exp[-i(Ai + к2 - Pl-р2)х} =
= -;А0(2тг)4 J(4)(fci + к2 - Р1 - р2). (27.15)
Здесь ехр(—Ik1X) под интегралом возникает как множитель в (26.81) при числе a(k), a ехр(—Ip1X) - как множитель при a*(pi) и т.д., множители (2Шк)~1!2 при а(к) и т.д. исчезают в (27.15) вследствие
287 релятивистской нормировки одночастичных волновых функций согласно (27.9), а множитель 4! имеет комбинаторное происхождение. Действительно, число a(ki) можно извлечь из в (27.14) четырьмя способами, затем множитель а(кг) извлекается из ф3 тремя способами и т.д.
Отсюда следует, что внешней линии, соответствующей начальной или конечной частице с 4-импульсом к, сопоставляется множитель exp (—ikx) или ехр(г7гж) соответственно.
При помощи формул (27.13) и (27.15) получаем
ІМ^ = -^. (27.16)
На языке диаграмм Фейнмана iA/W представляется в виде так называемой древесной диаграммы, показанной на рис. 4.
2
Рис. 4
Далее мы полагаем H= 1.
Во втором порядке величина гТ^ содержится в выражении
(27.17)
Выделяя отсюда интересующие нас слагаемые, получаем
iT{2) = % j <1Ах1<1Ах2фІ(х1^1(х1-х2)фІ(х2). (27.18)
288 Далее действуем по той же схеме, что и в первом порядке. В результате находим
іM^=1-X20 J Vc(q){Ve(k1 + k2-q) +
+ Vcik2 -p2 + q)+ Vcik2 -Pl+q)}. (27.19)
Выражение (27.19) изображается при помощи трех диаграмм Фейнмана, показанных на рис. 5.
Рис. 5
Теперь мы можем сформулировать правила Фейнмана применительно к рассматриваемой модели. Заметим, что для их однозначного вывода потребовалось бы рассмотрение значительно большего количества амплитуд перехода и их порядков. Поскольку подробное изложение теории возмущений Фейнмана не является нашей целью, мы формулируем здесь правила Фейнмана, отсылая читателя за подробностями к ряду монографий [15, 25, 29, 30, 31, 32].
Сформулируем правила Фейнмана в импульсном представлении.
1. Амплитуда перехода і Miki Pj) графически изображается в виде суммы всевозможных различных диаграмм Фейнмана. Каждая диаграмма Фейнмана имеет п вершин, Lin внутренних линий и Lex = ( L1ex + Llx ) внешних линий, причем
An = Lex + 2 Lin . (27.20)
289 L1ex является числом начальных частиц, a L{x - числом конечных частиц. Удобно приписывать направление каждой линии диаграммы и при этом считать, что каждая внешняя линия, отвечающая начальной частице, направлена к вершине, а каждая внешняя линия, отвечающая конечной частице, направлена от вершины. Каждой линии диаграммы приписывается 4-импульс, причем каждой начальной внешней линии приписывается один из 4-импульсов начальных частиц, а каждой конечной внешней линии - один из 4-импульсов конечных частиц.
2. В каждой вершине диаграммы имеет место закон сохранения 4-импульса. Это означает, что суммы 4-импульсов линий, сходящихся в одной вершине, равны нулю. При этом 4-импульс линии, направленной к вершине, берется со знаком плюс, а 4-импульс линии, направленной от вершины, берется со знаком минус.
3. Каждой вершине диаграммы приписывается множитель (—г'Л0).
4. Каждой внутренней линии диаграммы приписывается множитель
-iVc(q)= . , (27.21)
— + т1 — ге
где q есть 4-импульс этой линии.
5. Каждой внешней линии приписывается множитель 1.
6. По всем независимым внутренним 4-импульсам g;, і = 1, ..., s, которые не фиксируются законами сохранения 4-импульсов в вершинах, производится интегрирование J3i=1 J d4qi/(2ж)4. Число L называется числом петель в диаграмме. Например, если L = 0, 1, 2,..., то диаграммы называются соответственно древесными, одно-, двух- и т.д. петлевыми.
7. Каждой диаграмме приписывается множитель (Dn)-1, где Vn - порядок группы симметрии диаграмлш. ?
По определению, порядок группы симметрии диаграммы Vn равен числу таких перестановок компонентов диаграммы, которые не
