Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
297 из конфигурации ф' в конфигурацию ф" в виде
(Ф"\Ф') = ^ j expj і j + j-П*). (27-30)
Здесь лагранжиан CeJ включает в себя также возможные: детерминант Фаддеева-Попова, записанный в форме континуального интеграла по фиктивным полям (см. (26.64)), член, фиксирующий калибровку (второе слагаемое в квадратной скобке в (26.69)), а также член, пропорциональный <$(4)(0), возникающий вследствие нетривиальности функциональной меры (см. (26.66)). Таким образом, мера в интеграле (27.30), включающая в себя лишь произведение всех дифференциалов физических и фиктивных полей, является линейной, а лагранжиан Cej - не вырожден.
Предположим для удобства, что эффективный лагранжиан разлагается на сумму двух слагаемых:
Cej = І Фі-дцд" — т2 )ф — Ve j (ф). (27.31)
Здесь первое слагаемое имеет вид лагранжиана в свободной теории Клейна-Гордона-Фока. Однако для нас важно лишь, чтобы в круглой скобке был невырожденный оператор второго порядка. В теории гравитации это имеет место. Второе слагаемое в (27.31) имеет степень выше второй относительно поля ф и предполагается малым.
Обозначим через фсі классическое решение уравнения Лагранжа
(O„O" + т2) фс, + V^f (фы) = 0 (27.32)
с граничными условиями
Фсі{х)\і=і, = ф'{х), фсі(х)\і=і,, = ф"(х). (27.33)
Согласно результатам § 26.4 уравнение (27.32) и граничные условия (27.33) объединяются в одном интегральном уравнении
фс1(х) = ф0(х) - J d4yVc(x- у) У^(фа){у). (27.34)
Теперь произведем сдвиг поля:
ф(х) = фы{х) + Фі{х). (27.35)
298 По определению, поле ф\(х) имеет следующие граничные условия: (яг) —»> О, ФіМ —> 0. (27.36)
t—Yt1 t-И"
Тогда для функциональной меры, очевидно, имеем
П йф{х) = П йфх(х). (27.37)
x x
Функционал действия записывается в виде
J Cefd4x = J Сеі(фсі(х)) d4x +
+ ^ j Фі -тп2-У"{фс1)]фха,4х + ^ J У"(фс1) ф\(х) d4x +...
(27.38)
Здесь многоточие обозначает последующие члены разложения У(ф)) относительно фі вблизи точки феї. Граничные условия (27.36) означают, что оператор (—d?d? - га2) обратим на поле ф\(х), так как при данных граничных условиях этот оператор не имеет нулевых мод, т.е. ненулевых решений вида (d?d? + т2) ф\ = Oc граничными условиями (27.36) не существует. Согласно результатам § 26.4 при обращении оператора (d?d? + га2) на полях фі следует пользоваться причинной гриновской функцией Т>с(х).
Подставим разложение (27.38) и меру (27.37) в амплитуду перехода (27.30). В результате получим
(ф"\ф')\л=0 = ЗД0) -Sioop, (27.39)
где
Scl {фо) = ехр ji j Cej {фы (ж)) d4x j , (27.40)
a Sioop определяется суммой вакуумных диаграмм, т.е. диаграмм без внешних линий, поскольку поле интегрирования фі не может быть представлено в качестве внешней линии. При вычислении Sioop используется диаграммная техника со следующими свойствами: вершине с п входящими линиями сопоставляется (в ж-пространстве) функция (I/71!) Уеу^(</>с;(ж)), внутренним линиям соответствуют функции Грина дифференциального оператора:
- у) [д„д* + тп2 + У"(фс{у))] =
299 = (O„O" + m2) - y) + Vc(x - у) У"(фсі(у))] =
= {8^ + т2)К(фс1). (27.41)
Кроме того, Sioop содержит в качестве множителя детерминант (det К (феї) )-1/2, который возникает при вычислении гауссова интеграла по полям фі. Аналогичный детерминант ранее включался в нормировочный множитель, поскольку он не зависел от поля фо. Однако в новой ситуации указанный детерминант зависит согласно (27.34) от поля фо, и поэтому он должен быть учтен.
Обычные диаграммы Фейнмана получаются из (27.39), если в качестве феї использовать его разложение при помощи теории возмущений. Поскольку разложение идет по потенциалу Ve/, то для этой цели удобно использовать интегральное уравнение (27.34), причем нулевое приближение есть ф^ = фо- При этом все петлевые диаграммы в Sioop соответствуют двух-, трех- и т.д. петлевым вкладам, т.к. Sioop содержит лишь вакуумные петли, которые не бывают однопетлевыми. Таким образом, однопетлевой вклад в амплитуду перехода содержится в выражении
(ф"\Ф')і-іоор = J exp j і J Cej (феї) d4x I • (det К(феі))-112 = = ^rexpjІ J ?е;(феі) d4X + + \ J Фіі-д.д"-т2 ~ У"{фы)} Фі d4x J П dф1 (ж) . (27.42)
Легко увидеть, что в (27.42) содержатся лишь диаграммы не выше однопетлевых. Действительно, первый сомножитель в правой части (27.42) содержит лишь древесные диаграммы. Второй сомножитель в (27.42) переписывается при помощи (26.46) в виде ехр [ — I tr \аК(фсі)'\- Теперь разложим In К(фсі) относительно возмущения VeJ, используя формулы (27.34) и разложение ln(l + х) = x — \х2 +____ В результате для модели (27.2) мы получим, что tr 1пК{фе,) равен сумме всех однопетлевых диаграмм Фейнмана, изображенных на рис. 9.
Таким образом, рецепт выделения однопетлевых диаграмм сводится к следующему.
300 +
+
+
Рис. 9
Эффективное действие теории разлагается вблизи классического решения фсі уравнения движения с заданными граничными условиями с точностью до квадратичного приближения. Возникающий гауссов интеграл содержит лишь вклад от всех древесных и однопе-тлевых диаграмм Фейнмана.
