Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
К = Sij У\f\g"" ^Lr + у/\Г\ Mij . (27.83)
Правую часть (27.83) следует разложить по малому параметру h
+ A2K } . (27.84)
d2
К = Sij jfv а
3 ' dxfdx»
Здесь
вГ = А"" - і if" hxx , (27.85)
и A2K билинеен (или более высокой степени) относительно Ilfll, и Mij. Поднятия и опускания индексов производятся при помощи тензора Tfliv. Разложим tr In if относительно фигурной скобки в (27.84). Первый член этого разложения, графически представленный на рис. 10а, не дает вклада в расходимость. Действительно, аналитически он пропорционален интегралам вида f dnk kflkv{k2)~l и J dnk(k2)~1. Оба последних интеграла согласно (27.54) равны нулю. Отсюда следует, что A2K вообще не дает вклада в расходимость, поскольку такой вклад от любых положительных степеней оператора A2K отсутствует по размерностным причинам. Например, квадратичный по оператору A2K вклад в расходимость может
311 <
а) б)
Рис. 10
быть пропорционален четвертой степени Iifiu, то есть (см.(27.88)) четвертой степени тензора Римана. Но в однопетлевом приближении такого вклада в расходимость быть не может.
Таким образом, искомая расходящаяся часть содержится в диаграмме на рис. 106, которая аналитически записывается как (см.(27.41))
(trln K)d = ~ J ClnX1 dnx2 tr Qsf-(X1) + M(X1)^j ¦
¦Vc(Xl - х2) (-А*(х2) -щщ + М(х2) Vc(x2 - X1). (27.86)
Теперь условие гармоничности координат достаточно учесть в линейном приближении. При помощи (17.8) находим
S^ = 0 . (27.87)
Используя (17.3),(27.87),(27.85), получаем
R»v = -\d2 («„„-^v»*) - R=\d2s\, O2 = ^dllOv.
(27.88)
Сделаем полезную для наших вычислений замену переменных
X1 = X+^y, X2 = X-^y. (27.89)
Сначала вычислим вклад в расходимость в (27.86), пропорциональный S M:
(trln K)daM =
312 tr
J dnx I Г у Wix + \y) M (х- і у)] (Ve(V))iliv Ve(-y).
Выражение в квадратной скобке разложим в точке х относительно переменной у и учтем, что расходящаяся часть интеграла f d"у возникает от членов разложения, квадратичных по у. При помощи интеграла f dnx производные Mt\(x) и MtXp(X) перебрасываются на поле s^(х). Таким образом, получаем
[/
lnxs»v[x + ±y J м(х-1-у
I d"x S^p(X) M(X)^j Q2/
(tr In A'Um = itr Jd4x s^x" m J dny J
O2
P2 дрх dp?
Р^У
\ч
d4X Stiv-xP M
У" ) : і (27.90)
dnp dnk hyki/
(2тг)" (2тг)" к2
dnk ^ [i j
(2тг)п P 1
(27.91)
В дальнейших стандартных вычислениях следует лишь учесть соотношения (27.87),(27.88). Таким образом,
(ітІпК)шроі = J d4x tr MR.
Сравнивая полученный результат с (27.66) и (27.77), находим
1
а
(27.92)
Рассмотрим, наконец, последний случай, когда в (27.86) полагается M = 0. После замены (27.89) имеем для соответствующей расходящейся части
: trin i<)dss = tr J dnx I
dny
s>"(x + ±y)sxo(x-±y)
¦Vc(y)tliVVc(-y)txp. (27.93)
Как и выше, разложим выражение в квадратных скобках в точке X относительно у до четвертого порядка включительно. Вклад в
313 расходимость возникает от членов разложения, имеющих четвертый порядок по переменной у. Аналогично (27.90) получаем
/
J_ 24
«Га: «""(* + ? У) ^l/)
j VaVrysy1.
Подставим последнее выражение в (27.93). После простых преобразований правая часть в (27.93) принимает вид
(trlnA)rfss = -^ J
Далее следует сделать поворот Вика и затем усреднить по углам. При этом используются формулы (сравни с (27.80))
к к к к k к _V ^ )_ ¦
"3 п(п + 2)(п + 4)
¦ (7W2 We +¦•¦)> (27.95а)
(к2Ї4
hhhhhhhh -Л _' '_ .
^з -> n(n + 2)(„ + 4)(„ + 6)
• (7W2 W-.1W/.6 We +•••)• (27.956)
В (27.95) многоточия означают суммы членов, подобных выписанным, но с переставленными индексами, так что круглые скобки симметричны относительно любой перестановки индексов. Таким образом, в первой круглой скобке имеется 15 слагаемых, а во второй -105 слагаемых. Однако не все эти слагаемые дают вклад в (27.94). Действительно, вследствие (27.87) все свертки индексов в (27.94) существенны лишь внутри подмножеств (р, и, А, р) и (<т, т, 8, j), но любая свертка одного из индексов первого подмножества с индексом из второго подмножества приводит к нулевому вкладу. С учетом этого упрощения правую часть (27.956) можно заменить на
(P)4
кд к,/ кX кр ка кт к$ к-^ —>
314 • [Чий Г]Хр + TJf1X Vvp + V?P Vv\) (Vor TJS1 + Vo6 Vr1 + Va1 Vts) ¦ Поэтому получаем
(trlnA')sapo/ = -^ j Л (2O2S^d2s^+S2Sp2S1C). (27.96)
Для преобразования последнего выражения воспользуемся формулами (27.88). Соответствующий вклад в контрчлен получается путем отбрасывания в (27.96) мнимой единицы и умножения на 1/2:
k (r^-Ii*
Здесь первое слагаемое в фигурной скобке было получено ранее согласно (27.66),(27.77) и (27.92). Из сравнения последнего равенства с (27.66) находим
1 1
а3 =--, а4 =-. 27.97
360 120 v ;
Собирая вместе формулы (27.66),(27.71),(27.77),(27.81),(27.92) и (27.97), мы получаем искомый результат. Однако для наших целей необходим контрчлен в том случае, когда отсутствуют ограничения (27.58). Обобщение на этот случай происходит без труда. Действительно, если в (27.59) положить
