Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
X = M- Vf1Nti - Nf1Nti, (27.98)
то выражения (27.57) и (27.59) совпадают и в случае отсутствия условий (27.58). Следовательно, по-прежнему имеет место калибровочная инвариантность действия (27.57) относительно преобразований (27.61). Отсюда следует общий вид однопетлевого контрчлена (27.66), коэффициенты в котором устанавливаются однозначно при помощи перехода к уже рассмотренному случаю (27.58).
Выпишем полученный результат:
X = M- VfiNli - Nf1 Nli + ^ R. (27.99)
315 27.6. Неперенормируемость теории гравитации в однопетлевом приближении
Рассмотрим модель, описывающую гравитацию и вещественное скалярное поле, которые взаимодействуют минимальным образом. Действие этой модели имеет вид (в используемой здесь системе единиц U = C= 1)
Здесь поля, снабженные чертой, разлагаются на сумму классических и квантовых полей (сравни с (27.35)):
Далее g^v и ф - классические поля, удовлетворяющие классическим уравнениям, a Hliv и ф - квантовые поля, относительно которых действие (27.100) разлагается до второго порядка включительно. Сложные поля, как g, gl"/, R и т.д., составлены из фундаментальных полей д и ф по обычным правилам.
На первом этапе вычислений из действия (27.100) выделяется квадратичная часть относительно квантовых полей. Значительная часть формул будет выписываться без комментариев, поскольку они излишни. Все поднятия и опускания индексов осуществляются при помощи тензоров дР" и g?V соответственно. Имеем
Ниже все ковариантные производные вычисляются при помощи связности Г"Л, коэффициенты которой составлены из метрического тензора Qftv по обычному правилу. Продолжим вычисления:
(27.100)
9 HV — gp-v + Ip л,
Ф= —Ф + Ф. ip
(27.101)
1IzA-iIzA+iIzA +1i/A +•••!
316
Z2
Ip
vX —--2" Wlva^ h\o\v — Kx-a ) ,
f M - Г" + — Л" - A" Aa 4-1 vfi — 1 vy. < 2 V;" 2
Лі/Лр - Лі/Ар + itIzAp + izAp + • • • >
(27.103)
Я
(i)p і/Xp
г(1)м _ г(1)м
i^p; Л tx Л; p
= y(VAV,A?-Va V" A„,-V, V„A? +
n(2)p _ г(2)м _ г(1)м г(1)<7 _ г(1) г(1)<т
-rlIzAp- 1Izp;A 1IzAiP-rlCTA 1Izp 1CTp11ZA •
B (27.104) и далее используется тот факт, что
(VA Vp - Vp Va Ж = R^p К - Rauxp К . При помощи (27.104) получаем
(27.104)
(27.105)
= у [(+ v^ К) - V - Vm V, ft^ ],
^ 2
^p, і ,, „ ., л , „ % ^p
/2 Ip
[К KlV + К-н - )];А +
+ f ^A;p (?;, + - Л* ) - f (А* „ + А* , - A* ) ( А?;А + A^ - A* ) .
(27.106)
При вычислении R^ следует учесть, что и аналогично для
Поэтому
Я«1) = Ip (Vtl V1Z А"" - Vm V" А? - Rlliy А"" ), Л(2) = ? { ^ (W - і [Aa (2 Af/ - h™ )];А +
317 + \ h%p (2,A™ - ) - J Mx (2 А?.л - A*)
- A"" Vx V„ Aa + - A"" Vx Vх Iiflv +
+ ^ W Vlt Vv + Whxv Rltv j . (27.107)
Таким образом, нами получены все компоненты для вычисления вклада в действие (27.100) первого и второго порядков относительно квантовых полей. Для первого порядка имеем
W
(27.108)
Так как классические поля удовлетворяют классическим уравнениям, то коэффициенты при квантовых полях обращаются в нуль:
1 T
2
VftV1 ф = 0, Rftv = т;Ф,у.Ф,и , R = ^ Iyllt •
(27.109)
С учетом уравнений движения (27.109) находим
5(2) = 1 j + +
-AA VllVv A""+ -A^ VxVxK +
+ W Vx VllIix-- A"" Va Vа Iiiiv
(27.110)
Выпишем преобразования квантовых полей, называемые калибровочными преобразованиями, относительно которых действие (27.110) является инвариантом. Эти калибровочные преобразования являются следствием инвариантности действия (27.100) относительно общих преобразований координат.
Пусть поле ??{x) описывает бесконечно малое преобразование координат (см.(12.12)-(12.14)). Тогда
Sgltv = Vtt^vx?х) + V^gflа?а) ее IpShfiv ,
318 = + (27.111)
Здесь операция V11 является операцией ковариантного дифференцирования относительно связности с коэффициентами . В нашей задаче естественно считать, что вся вариация полных полей (27.101) происходит за счет вариации квантовых полей. Это указано в (27.111) при помощи знака тождества. Таким образом, действие (27.110) остается инвариантным при преобразованиях квантовых полей (27.111) в первом порядке по полю При этом классические поля остаются неизменными.
При помощи формул (27.101) и (27.103) вычислим Shfll, с точностью до первого порядка относительно h?l,:
Ip Shtiv = {gvS + Ip K5) ^ll + (д„і + Ip hps) ?f„ + Ip І5 h„v.i. (27.112)
В рассматриваемой задаче для фиксации калибровки удобным является следующее калибровочное условие:
Wv --h"
"/і; V 2
(27.113)
Xa = {-д)*е^ Обратим внимание на то, что
J_pa І/Лр(1 )? _ a? ( lv 1
1ренУ —е \'l?,v 2 J '
Отсюда и из (14.4) видно, что калибровочное условие (27.113) является линеаризованным аналогом калибровочного условия (26.59).
Для нахождения амплитуды перехода мы применим технику Фаддеев а Попова в форме (26.69). В нашем случае это означает прибавление к действию (27.110) следующего члена, фиксирующего калибровку:
Sgf = I j dAx TlabXaXb- (27.114)
При помощи равенств (27.110),(27.113) и (27.114), а также уравнений (27.105) и (27.100) находим
