Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Тем не менее в этих лекциях мы излагаем, хотя и в достаточно сжатом виде, метод теории возмущений в приложении к теории гравитации. По нашему мнению, это необходимо сделать, поскольку сложные научные проблемы не всегда решаются согласно предполагаемым сценариям. Тупик, в котором находится в настоящее время квантовая теория гравитации, может быть преодолен вместе с развитием новых идей и методов. В любом случае имеющийся опыт квантования гравитации при помощи метода теории возмущений внесет позитивный вклад в развитие квантовой теории гравитации.
283 27.1. Диаграммная техника на простейшем примере скалярной теории поля
Рассмотрим в четырехмерном пространстве Минковского динамическую систему, описывающую вещественное скалярное поле с самодействием. Динамика этой системы описывается при помощи действия
5
Ч
і--. ------} = /-¦
2 (ад2" ^т2ф2-У(ф) + гіф
<Рх{? + т)ф).
(27.1)
Действие (27.1) отличается от действия (26.71) лишь добавлением члена У'(ф), описывающего потенциальную энергию, которая предполагается полиномом выше второй степени относительно поля ф. При построении диаграммной техники Фейнмана мы будем полагать, что
У(ф) = ^ X0 фА. (27.2)
Здесь Ao - некая константа, называемая константой "взаимодействия" , которая считается малой и по которой происходит разложение квантовой амплитуды перехода. Заметим, что в системе единиц, для которой с = h = 1, поле ф имеет размерность [см-1], что следует из безразмерности действия (27.1). Но тогда очевидна без-размерность константы Ao- Этот факт играет ключевую роль при построении теории возмущений относительно Ao-
Запишем амплитуду перехода для системы (27.1) в присутствии внешнего источника. При помощи (26.21) имеем
d4x¦
\(д,ф)2-\т2ф2-У{ф)+Пф
Воспользуемся очевидной формулой
'h S
ф(хі) . ..ф(х„)
¦ ехр
і St](xi)
J dAxiі(х) ф(х
П *ф(х)
x
h S і Sri(xn)
і
1)=0
(27.3)
(27.4)
284 при помощи которой получаем
ехр
{-і J I jt^iim)]
(27.5)
Равенство (27.5) позволяет представить потенциальную энергию в (27.3) в виде функциональных производных, которые затем можно вынести за знак функционального интеграла. После этого под знаком функционального интеграла остается гауссов интеграл, который вычисляется согласно (26.81). В результате этих формальных манипуляций мы приходим к следующему выражению для 5-матрицы при наличии внешнего источника (амплитуды (27.3) при условии t" = —I' —У оо, а также предположении об адиабатическом выключении взаимодействия при 11 | —Ї оо):
Предполагается, что в (27.6) Т>с(х) определяется согласно (26.81) с заменой m —у mo.
Формула (27.6) позволяет развить для построения 5-матрицы теорию возмущений по константе взаимодействия Ao. Из (27.6) имеем
Предположим, что первая экспонента в правой части равенства (26.7) разложена в ряд. Тогда каждый член этого ряда содержит конечно-кратное дифференцирование по т/(хі) с последующим интегрированием по Xi. Дифференцирование по полю 7/ проводится при помощи формулы (27.7). Кратное применение оператора SfStj(Xi) к S4(^o) с последующим обращением в нуль поля источника приводит к появлению множителей фо(Хі) либо Vc(xi — Xj), причем последняя функция соответствует дифференциальному оператору второго порядка —Ti2 S2/Srj(xi) Srj(xj) ;.
•exp
Ti S і ST](X)
MM= (фо(х) + J d4yvc(x-y)v(y)^ ¦ Sv{фо} . (27.7)
285 Нетрудно изобразить графически каждый член нашего разложения. Эти графики называются диаграммами Фейнмана. Члену разложения га-го порядка, содержащему дифференциальный оператор
тг! ( ft) / d Xl "'d Xn V (і Srj(Xi) ) "'V (і Srj(Xn) )
(27.8)
сопоставляется диаграмма, состоящая из тг вершин в точках ж;, і = 1, ..., ті, находящихся под n-кратным интегралом по пространству-времени. В теории с потенциалом (27.2) из каждой вершины выходит 4 линии. (В теории с потенциалом вида Аф" из вершины выходит S линий). Эти линии могут либо замыкаться, соединяя пару вершин (такие линии называются внутренними), либо выходить из диаграммы, соответствуя полю фо(хі) (такие линии называются
Внешними). КаЖДОЙ Внутренней ЛИНИИ, Соединяющей ТОЧКИ Xi и
Xj, сопоставляется функция Vc(ж,- — xj). Каждой внешней линии, выходящей из точки ж,-, сопоставляется поле фо(хі). По всем точкам Xi, г = 1, ..., п производится интегрирование. Полное выражение для S{ фо } получается суммированием по всем диаграммам.
В качестве примера рассмотрим амплитуду перехода двух частиц с 4-импульсами к\ и /г2 в две частицы с 4-импульсами Pi и Р2- Будем обозначать через |0), |k), | ki кг ), • • • соответственно основное состояние (вакуум), одночастичное состояние с 4-импульсом к = (її)*,, к), двухчастичное состояние с 4-импульсами ki и и т.д. Как известно [29,30], релятивистски инвариантное скалярное произведение в одночастичном секторе имеет вид
(Р I к) = 2ыА(2тт)3^3)(к-Р). (27.9)
Поэтому одночастичное состояние можно представить как
I k) = V2^a+\0), (27.10)
где а? - соответствующий оператор рождения частицы.
В голоморфном представлении (см. [25]), в котором удобно производить нужные нам вычисления, одночастичная волновая функция и скалярное произведение в одночастичном секторе имеют следующий вид:
