Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Формулы (14.4) и (26.59) приводят к равенству
J Cl4XTlaXa = -J d^x^VxГА.
Здесь в правой части мера d4x yj—g является калибровочным инвариантом. Поэтому при помощи (14.2) находим
j <РхъХа(д1)= J <Рхт,хХх(д) + J d4x г,Ху/ЧSfiv д^ї ^'
4 (26.61)
271 Поскольку Tja = е^ Tjfi, то в функциональных интегралах (26.41) и (26.52) можно воспользоваться равенством:
П = П (-<7(г)Г1/2(Л<%М) - (26.62)
х,а х,р
Подставим в (26.52) J-функцию в представлении (26.60) и будем считать, что д = дх. В этом случае носитель интеграла в (26.52) сосредоточен при / = 0, и потому для меры в этом интеграле следует пользоваться формулой (26.51'). При помощи последней, а также формул (26.61) и (26.62) имеем
Jxiff}-
J ехр ji I Лтд Vx=^ } • П a rf/A H = I.
Учитывая полученное равенство, (26.60) и еще раз (26.62), мы полу-
Мз}Чх(д)) =
чаем
4
det
¦ j ехр ji j dAx T1tix^g) J П (-g(x)r1/2dih(x). (26.63)
Первый сомножитель в правой части последнего равенства может быть записан как интеграл по четырем комплексным грассмановым полям са(х) и с"(х), которые взаимно эрмитовски сопряжены:
^Ы = [-..]4 = /ехр {»/ d4xV4g?"ca,?ca^l[dca(x)dca(x).
(26.64)
Определение грассмановых чисел, полей и действий с ними дается в § 31. Возможность записи детерминанта в (26.63) в форме функционального интеграла по комплексным грассмановым полям связана с наличием в (26.63) множителя S(x(g)), который в используемой калибровке означает, что {y/—ggf11' ),„ =0.
Замечание. Разъясним смысл утверждения о калибровочной инвариантности функционала Jx{g}. Первый сомножитель в (26.63)
272 калибровочно инвариантен в том смысле, что сначала метрический тензор при помощи калибровочного преобразования приводится к виду, удовлетворяющему условию (26.59), и лишь после этого вычисляется определитель в (26.63). Иными словами, функционал Jx{g} по определению всегда вычисляется в точке дх. Однако функционал Jx{g} (26.64), вычисленный в точке д, связанной с точкой дх калибровочным преобразованием, вообще говоря, отличается от Jxidx)- D
Лагранжиан в теории гравитации относится к типу лагранжианов (26.19). Поэтому интеграл по импульсным переменным вычисляется точно, причем в качестве мы имеем оператор, пропорциональный NQijki- Поэтому здесь (см. (25.4) и (25.1))
JJ (det (M)(t) )1<2 = const П N~2{x) (-д(х))"1/2 =
t X
= ЦГ(х)(-д(х)Г!2.
x
Собирая вместе формулы (26.21), (26.40), (26.41), (26,58) и (26.63), окончательно получаем
<$,<"1^,0=4 S ^[Scn і dM-V^+
+ ? {-/Чд^І^ + л/Чд^СаМ) dfi {д, с, с} Jldrlll(X) =
x,fl
x ,fl
(26.65)
где
d?{g, с, с} = dn{g} Yl dca(x)dca(x) ,
x ,a
= П ПУ°(Ж) (-9ПГ312dg.Ax) ¦ (26.66)
X
Формулы (26.65) и (26.66) были выведены в работе [27].
Амплитуда перехода (26.65) может быть записана в несколько иной форме, которая удобнее для развития диаграммной техники
273 Фейнмана. Для этого калибровочное условие (26.59) заменим условием
Xlil=Xli-Pli = 0, (26.67)
где p?(x) - произвольное поле, которое не зависят от метрического тензора, а \? задается согласно (26.59). Заметим, что вид функционала Jx{g} при такой замене калибровочного условия не изменяется. Поэтому амплитуда перехода имеет вид (сравни с (26.65))
^{?)11^(^-^(^)^^}- (26-68)
X, [І
Функционал (26.68) не зависит от поля Pti [х). Действительно, по самому смыслу этот функционал является амплитудой перехода, которая по построению не может зависеть от калибровочных условий. Поэтому мы можем проинтегрировать функционал (26.68) по полю p?(x) с весом
В результате амплитуда перехода приобретает вид + 5'Em^=SS'" ))' + у/=Ї!Г Ыя,*.'}¦ (26.69)
а /1=0 J
Здесь а является постоянной числовой величиной. Амплитуда перехода в представлении (26.69) удобнее амплитуды в представлении (26.65) именно тем, что в (26.69) имеется свободный параметр. В пределе Q-J-O выражение (26.69) переходит в (26.65).
В работе [27] проводится формальное доказательство калибровочной инвариантности функциональной меры (26.66):
dp{g'} = dp{g}. (26.70)
274 26.4. Доопределение детерминантов
при функциональном интегрировании
В заключение этого параграфа сделаем замечание относительно вычисления гауссовых интегралов (интегралов типа (26.18)) в квантовой теории поля. Проблема вычисления гауссовых интегралов состоит в необходимости доопределения некоторых детерминантов. Возникающие при этих вычислениях детерминанты однозначно определяются с учетом граничных условий, которые в свою очередь диктуются постановкой физической задачи.
Рассмотрим этот вопрос на простейшем примере скалярной теории поля в пространстве Минковского с действием (с = 1):
5 = J dAx j і (дрф)2 - \ т2ф2 + T1 ф j . (26.71)
Здесь ф(х) - вещественное скалярное поле и т/(х) — вещественное поле, играющее роль источника скалярного поля. Система (26.71) сводится к набору независимых гармонических осцилляторов при помощи преобразования Фурье:
/г dak
d3x ф(х) ехр(-г'кх), ф(х) = J фъ(г) ехр(г'кх) ,
5 = / (^3 / dt j^-k^k- Ф-k ^k + V-Ъ ФУ- j ,
